Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em 0,1. Determine a função de distribuição FY e de densidade fY de uma variável aleatória Y se:
Y=1-3 X

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme em [0,1] e define uma nova variável Y por
Y = 1 - 3X
O objetivo é determinar a função de distribuição cumulativa FY(y) e a densidade fY(y). Para isso vamos usar o método de transformação de variáveis monotônicas, calculando primeiro o suporte de Y e em seguida expressando FY em termos de FX.

Passo 2

Como X varia em [0,1] e Y=1-3X é afim decrescente, seus extremos são
ymin = 1 - 3cdot1 = -2, ymax = 1 - 3cdot0 = 1
Logo o suporte de Y é o intervalo [-2,1].

Passo 3

Para
Como , sua distribuição cumulativa é
Então, para e .
Para temos e
Para vale e .

Passo 4

A densidade fY(y) é a derivada de FY(y) no interior do suporte. Como em -2<y<1
FY(y)=2+y3,
temos
fY(y) =ddyFY(y) =13
Fora desse intervalo a densidade é zero.

Resposta

A função de distribuição cumulativa de Y é
FY(y)= 0, & y< -2, 2+y3, & -2<= y<=1, 1, & y>1,
e a densidade de probabilidade é
fY(y)= 13, & -2<y<1, 0, & caso contrário á

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