Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja uma variável aleatória com distribuição uniforme em . Determine a função de distribuição e de densidade de uma variável aleatória se:
Passo 1
O enunciado diz que é uma variável aleatória com distribuição uniforme em e define uma nova variável por
O objetivo é determinar a função de distribuição cumulativa e a densidade . Para isso vamos usar o método de transformação de variáveis monotônicas, calculando primeiro o suporte de e em seguida expressando em termos de .
Passo 2
Como varia em e é afim decrescente, seus extremos são
Logo o suporte de é o intervalo .
Passo 3
Para
Como , sua distribuição cumulativa é
Então, para e .
Para temos e
Para vale e .
Passo 4
A densidade fY(y) é a derivada de FY(y) no interior do suporte. Como em -2<y<1