Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja uma variável aleatória com distribuição uniforme em . Determine a função de distribuição e de densidade de uma variável aleatória se:
Passo 1
O enunciado diz que é uniforme em e que definimos a nova variável . Vamos usar o método da função de distribuição para achar primeiro
e depois derivar para obter a densidade .
Passo 2
Antes de tudo, observamos o suporte de . Como , temos
logo varia em .
Passo 3
Para valores fora de a distribuição acumula tudo em 0 ou em 1:
Passo 4
Para yin[0,1],
FY(y)=P(Y<= y)=P(X^2<= y)
Como X>=0, isso equivale a
P(X<= raizy)
E sendo X uniforme em [0,1], temos P(X<= t)=t para tin[0,1]. Portanto
FY(y)=raizy, 0<= y<=1
Passo 5
A densidade fY é a derivada de FY no interior do suporte. Para yin(0,1),
fY(y)=ddyl(FY(y)r) =ddyl(raizyr) =12raizy
Fora desse intervalo, a densidade vale zero.
Resposta
FY(y)= 0, & y<0, raizy, & 0<= y<1, 1, & y>=1,
fY(y)= dfrac12raizy, & 0<y<1, 0, & caso contrário á