Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em 0,1. Determine a função de distribuição FY e de densidade fY de uma variável aleatória Y se:
Y=X^2

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [0,1] e que definimos a nova variável Y = X^2. Vamos usar o método da função de distribuição para achar primeiro
;FY(y)=P(Y<= y)
e depois derivar para obter a densidade fY(y).

Passo 2

Antes de tudo, observamos o suporte de Y. Como Xin[0,1], temos
0 <= Y = X^2 <= 1^2 = 1,
logo Y varia em [0,1].

Passo 3

Para valores fora de [0,1] a distribuição acumula tudo em 0 ou em 1:
FY(y)= 0, & y<0, 1, & y>=1

Passo 4

Para yin[0,1],
FY(y)=P(Y<= y)=P(X^2<= y)
Como X>=0, isso equivale a
P(X<= raizy)
E sendo X uniforme em [0,1], temos P(X<= t)=t para tin[0,1]. Portanto
FY(y)=raizy, 0<= y<=1

Passo 5

A densidade fY é a derivada de FY no interior do suporte. Para yin(0,1),
fY(y)=ddyl(FY(y)r) =ddyl(raizyr) =12raizy
Fora desse intervalo, a densidade vale zero.

Resposta

FY(y)= 0, & y<0, raizy, & 0<= y<1, 1, & y>=1,
fY(y)= dfrac12raizy, & 0<y<1, 0, & caso contrário á

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