Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja
uma variável aleatória com distribuição uniforme em
. Determine a função de distribuição
e de densidade
de uma variável aleatória
se:
Passo 1
O enunciado diz que
é uniforme em
e define a variável
. Queremos achar a função de distribuição
e a densidade
de
. Vamos usar transformação de variável via função de distribuição e, em seguida, a diferenciação para obter a densidade.
Passo 2
Observamos que, para
, temos
, logo
Essa é uma transformação estritamente decrescente e invertível de
em
, cuja inversa é
Passo 3
Para calcular a função de distribuição de
notamos que, se
, então
. Para
,
Como
é uniforme em
,
para
. Assim,
Passo 4
A densidade
é a derivada de
para
:
e
para
.
Resposta
A função de distribuição de
é
e a densidade é