Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em 0,1. Determine a função de distribuição FY e de densidade fY de uma variável aleatória Y se:
Y=|ln (X)|

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [0,1] e define a variável Y = |ln(X)|. Queremos achar a função de distribuição FY e a densidade fY de Y. Vamos usar transformação de variável via função de distribuição e, em seguida, a diferenciação para obter a densidade.

Passo 2

Observamos que, para Xin(0,1), temos ln(X)<=0, logo
Y = |ln(X)| = -ln(X)
Essa é uma transformação estritamente decrescente e invertível de (0,1) em (0,infty), cuja inversa é
X = e^-Y

Passo 3

Para calcular a função de distribuição de Y notamos que, se y<0, então FY(y)=0. Para y>=0,
FY(y) = Pl(Y <= yr) = Pl(-ln X <= yr) = Pl(ln X >= -yr) = Pl(X >= e^-yr)
Como X é uniforme em [0,1], P(X < t)=t para 0<= t<=1. Assim,
FY(y) = 1 - Pl(X < e^-yr) = 1 - e^-y

Passo 4

A densidade fY é a derivada de FY para y>0:
fY(y) = ddyl(1 - e^-yr) = e^-y,
e fY(y)=0 para y<0.

Resposta

A função de distribuição de Y é
FY(y) = 0, & y<0, 1 - e^-y, & y>=0,
e a densidade é
fY(y) = e^-y, & y>=0, 0, & y<0

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