Exercício 12. Calcule \iint_{D}(2 x+3 y) d x d y, onde D a região limitada por y=0, x=0 e y=-1-x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(2x+3y)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas retas y=0, x=0 e y=-1-x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As curvas que limitam D são:
    • eixo x: y=0,
    • eixo y: x=0,
    • reta: y=-1-x.
  • As interseções entre essas retas (vértices da região triangular) são obtidas resolvendo pares:
    • x=0 e y=0 dão (0,0).
    • x=0 e y=-1-x (substituindo x=0) dão y=-1, ou seja (0,-1).
    • y=0 e y=-1-x (substituindo y=0) dão x=-1, ou seja (-1,0).
  • Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (-1,0) e (0,-1).

Passo 2

Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada.
Por observação geométrica: para um x fixo entre -1 e 0 a variável y varia da reta y=-1-x (limite inferior) até o eixo y=0 (limite superior). Essa escolha torna os limites simples (funções de x apenas). Assim escrevemos a integral dupla como uma integral iterada (usando a possibilidade de trocar ordem de integração por Fubini, já que a função é contínua):
\iint_{D}(2x+3y)\,dx\,dy=\int_{x=-1}^{0}\left(\int_{y=-1-x}^{0} (2x+3y)\,dy\right)dx.
Explicação didática curta sobre essa montagem:
  • A integral dupla sobre uma região D pode ser calculada como uma integral iterada se identificarmos para cada valor de x os limites de y (ou vice-versa).
  • Aqui, para cada x\in[-1,0] o segmento vertical dentro de D vai de y=-1-x até y=0. Por isso os limites internos são y=-1-x e y=0, e os limites externos são x=-1 a x=0.

Passo 3

Calcular a integral interna em y.
Primeiro, integrar 2x+3y em relação a y, tratando x como constante. A primitiva em y é:
\int (2x+3y)\,dy = 2x\cdot y + \frac{3}{2}y^{2} + C,
pois \int 2x\,dy = 2x y (porque x é constante na integração em y) e \int 3y\,dy = \tfrac{3}{2}y^{2}.
Agora avaliar entre y=-1-x e y=0:
\int_{y=-1-x}^{0} (2x+3y)\,dy = \Big[2x y + \tfrac{3}{2}y^{2}\Big]_{y=-1-x}^{y=0}.

Passo 4

Avaliar a primitiva nos limites e simplificar.
Avaliação em y=0 0. Avaliação em y=-1-x
2x(-1-x)+\tfrac{3}{2}(-1-x)^{2} = -2x(1+x)+\tfrac{3}{2}(1+2x+x^{2}).
Portanto a integral interna é
0 -\Big(-2x(1+x)+\tfrac{3}{2}(1+2x+x^{2})\Big) = 2x(1+x)-\tfrac{3}{2}(1+2x+x^{2}).
Expandindo e agrupando termos:
2x(1+x)=2x+2x^{2}, \qquad \tfrac{3}{2}(1+2x+x^{2})=\tfrac{3}{2}+\\\ 3x+\tfrac{3}{2}x^{2}.
Subtraindo:
2x+2x^{2}-\Big(\tfrac{3}{2}+3x+\tfrac{3}{2}x^{2}\Big) = \tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{3}{2}.
Assim a integral dupla reduz-se à integral em x de um polinômio:
\iint_{D}(2x+3y)\,dx\,dy = \int_{-1}^{0}\Big(\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{3}{2}\Big)\,dx.

Passo 5

Integrar em x e avaliar os limites.
Calculamos a primitiva em x:
\int\Big(\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{3}{2}\Big)\,dx = \tfrac{1}{6}x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{3}{2}x + C.
Agora avaliar entre x=-1 e x=0.
Avaliação em x=0 0.
Avaliação em x=-1
\tfrac{1}{6}(-1)^{3}-\tfrac{1}{2}(-1)^{2}-\tfrac{3}{2}(-1) = -\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}.
Calcule passo a passo:
-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1, \qquad 1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}.
Como a integral definida é valor em 0 menos valor em -1, obtemos
\iint_{D}(2x+3y)\,dx\,dy = 0 - \tfrac{5}{6} = -\tfrac{5}{6}.

Resposta

-\tfrac{5}{6}

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