Exercício 12. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As curvas que limitam
são: - eixo
: , - eixo
: , - reta:
.
- eixo
- As interseções entre essas retas (vértices da região triangular) são obtidas resolvendo pares:
-
e dão . -
e (substituindo ) dão , ou seja . -
e (substituindo ) dão , ou seja .
-
- Portanto
é o triângulo com vértices , e .
Passo 2
Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada.
Por observação geométrica: para um
fixo entre
e
a variável
varia da reta
(limite inferior) até o eixo
(limite superior). Essa escolha torna os limites simples (funções de
apenas). Assim escrevemos a integral dupla como uma integral iterada (usando a possibilidade de trocar ordem de integração por Fubini, já que a função é contínua):
Explicação didática curta sobre essa montagem:
- A integral dupla sobre uma região
pode ser calculada como uma integral iterada se identificarmos para cada valor de os limites de (ou vice-versa). - Aqui, para cada
o segmento vertical dentro de vai de até . Por isso os limites internos são e , e os limites externos são a .
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
Primeiro, integrar
em relação a
, tratando
como constante. A primitiva em
é:
pois
(porque
é constante na integração em
) e
.
Agora avaliar entre
e
:
Passo 4
Avaliar a primitiva nos limites e simplificar.
Avaliação em
dá
. Avaliação em
dá
Portanto a integral interna é
Expandindo e agrupando termos:
Subtraindo:
Assim a integral dupla reduz-se à integral em
de um polinômio:
Passo 5
Integrar em
e avaliar os limites.
Calculamos a primitiva em
:
Agora avaliar entre
e
.
Avaliação em
dá
.
Avaliação em
dá
Calcule passo a passo:
Como a integral definida é valor em
menos valor em
, obtemos