Exercício 12. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+2 x-1}{x^{4}+3 x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+2x-1}{x^{4}+3x^{2}+5}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos comparar os graus de polinômios e, em seguida, dividir numerador e denominador pelo maior grau de x.

Passo 2

Observe os graus: o numerador é grau 3 e o denominador é grau 4. Quando o grau do numerador é menor que o do denominador, o limite no infinito é 0. Para ver isso de forma detalhada, vamos dividir tudo por x^4.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^4, temos
\frac{x^{3}+2x-1}{x^{4}+3x^{2}+5} = \frac{x^{3}\bigl(1+\tfrac{2}{x^{2}}-\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)}{x^{4}\bigl(1+\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{5}{x^{4}}\bigr)} = \frac{1}{x}\,\frac{1+\tfrac{2}{x^{2}}-\tfrac{1}{x^{3}}}{1+\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{5}{x^{4}}}.

Passo 4

Agora, ao mandar x\to -\infty, todos os termos \tfrac{2}{x^{2}}, \tfrac{1}{x^{3}}, \tfrac{3}{x^{2}} e \tfrac{5}{x^{4}} vão a zero. Sobram
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}\,\frac{1+0-0}{1+0+0} =\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x} =0.

Resposta

0

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