Exercício 12. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4 x}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}-x\bigr).
Estamos lidando com uma indeterminação do tipo \infty-\infty, e a estratégia clássica é multiplicar pela conjugada para eliminar a raiz.

Passo 2

Multiplicamos a expressão por \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+4x}+x}{\sqrt{x^{2}+4x}+x}, obtendo
\sqrt{x^{2}+4x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4x}+x} = \frac{x^{2}+4x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x}+x} = \frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}+x}.

Passo 3

Para avaliar o limite, dividimos numerador e denominador por x (que é positivo quando x\to+\infty):
\frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}+x} = \frac{4}{\sqrt{1+\tfrac{4}{x}} + 1}.

Passo 4

Ao fazer x\to+\infty, o termo \tfrac{4}{x} tende a 0, logo
\sqrt{1+\tfrac{4}{x}} + 1 \;\longrightarrow\; 1 + 1 = 2.
Portanto, o limite vale \displaystyle \frac{4}{2}=2.

Resposta

2

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