Exercício 12. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}-5 x+1}{2 x^{2}+x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4}.
O conteúdo aqui é limites de funções racionais no infinito. A estratégia mais direta é comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador, ou então dividir tudo por x^2.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^2, que é a maior potência presente:
\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4} =\frac{x^2\bigl(3-\tfrac{5}{x}+\tfrac{1}{x^2}\bigr)}{x^2\bigl(2+\tfrac{1}{x}-\tfrac{4}{x^2}\bigr)} =\frac{3-\tfrac{5}{x}+\tfrac{1}{x^2}}{2+\tfrac{1}{x}-\tfrac{4}{x^2}}.

Passo 3

Para x\to+\infty temos \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^2}\to0. Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{3-\tfrac{5}{x}+\tfrac{1}{x^2}}{2+\tfrac{1}{x}-\tfrac{4}{x^2}} =\frac{3-0+0}{2+0-0} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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