Exercício 11. Explique a importância do Teorema do Valor Intermediário para a localização de raízes de equações.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que o Teorema do Valor Intermediário é fundamental quando queremos encontrar ou “localizar” raízes de uma equação
. O conteúdo da matéria é análise de funções contínuas e aplicações em métodos numéricos de aproximação de raízes.
Passo 2
O Teorema do Valor Intermediário afirma que, se uma função
é contínua no intervalo
e os valores
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe pelo menos um ponto
tal que
Passo 3
Esse resultado indica que sempre que encontrarmos um intervalo
em que
e
mudam de sinal, podemos ter certeza de que há uma raiz dentro desse intervalo. Em vez de “chutar” um valor inicial qualquer, o Teorema do Valor Intermediário nos dá garantia teórica de existência de solução em
.
Passo 4
A lógica do Teorema do Valor Intermediário é usada diretamente em métodos numéricos, como o método da bissecção. Nesse método, dado
com
, calcula-se o ponto médio
e verifica-se o sinal de
. Se
, a raiz está em
; caso contrário, está em
. Repetindo esse processo, reduzimos sucessivamente o tamanho do intervalo que contém a raiz, garantindo aproximações cada vez melhores.
Resposta
O Teorema do Valor Intermediário é importante porque assegura a existência de pelo menos uma raiz de
em qualquer intervalo onde
seja contínua e mude de sinal, e fornece a base teórica para métodos de localização e aproximação de raízes, como o método da bissecção.