(FGV-SP) É consenso, no mercado de veículos usados, que o preço de revenda de um automóvel importado descresce exponencialmente com o tempo, de acordo com a função \nu=K \cdot x^{t}. Se 18 mil dólares é o preço atual de mercado de um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há 3 anos por 30 mil dólares, depois de quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dólares? É dado que \log _{15} 3=0,4.
a) 5 anos
b) 7 anos
c) 6 anos
d) 8 anos
e) 3 anos

Passo 1

O enunciado dá um modelo de depreciação exponencial do preço de revenda: \nu = K \cdot x^{t}. Ele fornece os seguintes dados:
\text{Preço no momento da comercialização} = \$30\,000 \quad(\text{isso ocorreu há 3 anos}),ççãá
\text{Preço atual} = \$18\,000,ç
\text{Queremos saber após quantos anos a partir de hoje o preço será } \$6\,000.óçá
Também é dado que \log_{15} 3 = 0{,}4.
Observação importante (para ficar claro o referencial temporal): vou tomar t=0 no instante da comercialização (quando o preço era \$30\,000). Assim o tempo atual corresponde a t=3 anos. A incógnita final será o tempo futuro T (medido desde a comercialização) tal que \nu(T)=\$6\,000; depois subtrairemos 3 para obter “a partir da data atual”.

Passo 2

Encontrar K. Pelo modelo \nu = K \cdot x^{t}, em t=0 temos
\nu(0)=K\cdot x^{0}=K.
Como o preço na comercialização (que definimos como t=0) foi \$30\,000, conclui-se que
K = 30\,000.

Passo 3

Usar o preço atual para relacionar x. No instante atual t=3 temos \nu(3)=\$18\,000. Substituindo na fórmula:
30\,000\cdot x^{3}=18\,000.
Dividindo ambos os lados por 30\,000 obtemos
x^{3}=\frac{18\,000}{30\,000}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}.

Passo 4

Escrever a equação para o tempo futuro T em que \nu(T)=\$6\,000. Substituindo K e \nu(T) na fórmula:
30\,000\cdot x^{T}=6\,000.
Dividindo por 30\,000 fica
x^{T}=\frac{6\,000}{30\,000}=\frac{1}{5}.

Passo 5

Eliminar x usando a relação já conhecida x^{3}=\tfrac{3}{5}. Uma forma conveniente é elevar ambos os lados da igualdade x^{T}=\tfrac{1}{5} ao cubo para comparar potências de \tfrac{3}{5}:
(x^{T})^{3}=\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\quad\Rightarrow\quad x^{3T}=\frac{1}{125}.
Mas como x^{3}=\dfrac{3}{5}, temos
(x^{3})^{T}=\left(\frac{3}{5}\right)^{T}=\frac{1}{125}.
Portanto precisamos resolver
\left(\frac{3}{5}\right)^{T}=\frac{1}{125}.

Passo 6

Resolver a equação exponencial usando logaritmos. Aplicando \log_{15} em ambos os lados (escolhi base 15 porque foi dada \log_{15}3), e usando a propriedade \log(a^{b})=b\log(a), obtemos:
T\log_{15}\!\left(\frac{3}{5}\right)=\log_{15}\!\left(\frac{1}{125}\right).
Agora usamos propriedades de logaritmo:
\log_{15}\!\left(\frac{3}{5}\right)=\log_{15}3-\log_{15}5,
\log_{15}\!\left(\frac{1}{125}\right)=\log_{15}1-\log_{15}125= -\log_{15}(5^{3})=-3\log_{15}5.
Da informação dada \log_{15}3=0{,}4 e sabendo que \log_{15}15=1=\log_{15}3+\log_{15}5, temos
\log_{15}5 = 1 - \log_{15}3 = 1 - 0{,}4 = 0{,}6.
Substituindo esses valores:
\log_{15}\!\left(\frac{3}{5}\right)=0{,}4-0{,}6=-0{,}2,
\log_{15}\!\left(\frac{1}{125}\right)=-3\cdot 0{,}6=-1{,}8.
Logo a equação para T é
T(-0{,}2)=-1{,}8.
Resolvendo,
T=\frac{-1{,}8}{-0{,}2}=9.
Assim T=9 anos contados desde a comercialização.

Passo 7

Calcular quanto tempo a partir da data atual (que é t=3 anos desde a comercialização) falta para atingir \$6\,000. Basta subtrair:
\text{anos a partir de hoje} = T - 3 = 9 - 3 = 6.
Portanto, a partir da data atual, serão necessários mais 6 anos para que o valor de revenda seja \$6\,000.

Resposta

c) 6 anos

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