(FGV-SP) É consenso, no mercado de veículos usados, que o preço de revenda de um automóvel importado descresce exponencialmente com o tempo, de acordo com a função
. Se 18 mil dólares é o preço atual de mercado de um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há 3 anos por 30 mil dólares, depois de quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dólares? É dado que
.
a) 5 anos
b) 7 anos
c) 6 anos
d) 8 anos
e) 3 anos
a) 5 anos
b) 7 anos
c) 6 anos
d) 8 anos
e) 3 anos
Passo 1
O enunciado dá um modelo de depreciação exponencial do preço de revenda:
. Ele fornece os seguintes dados:
Também é dado que
.
Observação importante (para ficar claro o referencial temporal): vou tomar no instante da comercialização (quando o preço era
). Assim o tempo atual corresponde a
anos. A incógnita final será o tempo futuro
(medido desde a comercialização) tal que
; depois subtrairemos
para obter “a partir da data atual”.
Observação importante (para ficar claro o referencial temporal): vou tomar
Passo 2
Encontrar
. Pelo modelo
, em
temos
Como o preço na comercialização (que definimos como
) foi
, conclui-se que
Passo 3
Usar o preço atual para relacionar
. No instante atual
temos
. Substituindo na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Escrever a equação para o tempo futuro
em que
. Substituindo
e
na fórmula:
Dividindo por
fica
Passo 5
Eliminar
usando a relação já conhecida
. Uma forma conveniente é elevar ambos os lados da igualdade
ao cubo para comparar potências de
:
Mas como
, temos
Portanto precisamos resolver
Passo 6
Resolver a equação exponencial usando logaritmos. Aplicando
em ambos os lados (escolhi base
porque foi dada
), e usando a propriedade
, obtemos:
Agora usamos propriedades de logaritmo:
Da informação dada
e sabendo que
, temos
Substituindo esses valores:
Logo a equação para
é
Resolvendo,
Assim
anos contados desde a comercialização.
Passo 7
Calcular quanto tempo a partir da data atual (que é
anos desde a comercialização) falta para atingir
. Basta subtrair:
Portanto, a partir da data atual, serão necessários mais
anos para que o valor de revenda seja
.
Resposta
c) 6 anos