Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em
:
Calcule o trabalho do campo
ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o trabalho do campo vetorial
ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário. Informações dadas e o que se pede:
- O campo é
, definido em . - A curva é a circunferência de raio
, descrita por , orientação anti-horária (sentido positivo). - O pedido é o trabalho, isto é, o integral de linha fechado
Nada mais será assumido; vou parametrizar a circunferência e calcular o integral de linha diretamente.
Passo 2
Lembrete didático — o que é o trabalho (integral de linha) de um campo vetorial: se uma curva
é parametrizada por
, com
variando em um intervalo
, o trabalho do campo
ao longo de
é
Explico cada peça:
é o vetor velocidade (derivada da parametrização),
é o campo avaliado nos pontos da curva, e o produto escalar dá a componente tangencial do campo que contribui para o trabalho. A orientação da curva é dada pelo sentido em que
aumenta.
Passo 3
Parametrizo a circunferência de raio
no sentido anti-horário usando o parâmetro
:
No sentido anti-horário,
aumenta de
a
. A derivada é
Passo 4
Avalio o campo
ao longo da parametrização. Note que na curva
temos
sempre. Substituindo
e
,
Passo 5
Calculo o produto escalar
:
Faço cada termo:
e
. Somando,
Aqui usei a identidade trigonométrica básica
.
Passo 6
Agora integro sobre
de
a
:
Interpretação breve: ao percorrer a circunferência, o campo
tem componente tangencial constante igual a
, portanto o trabalho total é o comprimento do intervalo de parâmetro,
.