Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} :
F(x, y)=\left(\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \text { e } \quad G(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) .
Calcule o trabalho de F sobre o segmento ligando (1,-1) a (1,3), orientado para cima;

Passo 1

O enunciado pede o trabalho do campo vetorial F ao longo do segmento que liga (1,-1) a (1,3), orientado para cima. Informações dadas e objetivo, listados claramente:
  • O campo vetorial é F(x,y)=\left(\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}},\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right).
  • A curva C é o segmento vertical que vai de (1,-1) até (1,3), orientada para cima.
  • O trabalho pedido é a integral de linha (produto escalar) \displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}.
    Não começo a resolver aqui — só deixei claro o que temos e o que se pede.

Passo 2

Definição prática do trabalho e parametrização: O trabalho é \displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}. Para calcular isso escolhemos uma parametrização de C. Como o segmento é vertical em x=1 e y vai de -1 a 3 (orientação para cima), parametrize por
\mathbf{r}(t) = (1,\,t),\qquad t\in[-1,3].
Então \mathbf{r}'(t)=(0,1) e d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(0,1)\,dt. Explico: parametrizar é trocar a curva por uma função de um parâmetro t; aqui t é simplesmente a coordenada y, o que fica bem natural e evita complicação.

Passo 3

Avaliar F ao longo da parametrização e montar a integral: Substituindo \mathbf{r}(t) em F obtemos
F(\mathbf{r}(t))=\left(\dfrac{2\cdot 1}{1+t^{2}},\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right)=\left(\dfrac{2}{1+t^{2}},\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right).
O produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) é
\left(\dfrac{2}{1+t^{2}},\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right)\cdot(0,1)=\dfrac{2t}{1+t^{2}}.
Portanto o trabalho é
\int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{-1}^{3}\dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt com substituição: note que a derivada de 1+t^{2} é 2t. Faça a substituição u=1+t^{2}, então du=2t\,dt. Assim
\int_{-1}^{3}\dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\int_{u( -1)}^{u(3)}\dfrac{1}{u}\,du.
Aqui u(-1)=1+(-1)^{2}=2 e u(3)=1+3^{2}=10. A integral de 1/u é \ln u, logo
\int_{-1}^{3}\dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\big[\ln u\big]_{u=2}^{u=10}=\ln(10)-\ln(2).

Passo 5

Observação alternativa (útil na prova): o campo F é gradiente de uma função potencial, o que simplifica ainda mais. Defina \varphi(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}). Calculando parcials:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}},
logo \nabla\varphi=F. Pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos, \displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,3)-\varphi(1,-1)=\ln(1^{2}+3^{2})-\ln(1^{2}+(-1)^{2})=\ln(10)-\ln(2). Esta abordagem é mais rápida quando se reconhece a potencial.

Resposta

\ln 5

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