Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em
:
Calcule o trabalho de
sobre o segmento ligando
a
, orientado para cima;
Passo 1
O enunciado pede o trabalho do campo vetorial
ao longo do segmento que liga
a
, orientado para cima. Informações dadas e objetivo, listados claramente:
- O campo vetorial é
. - A curva
é o segmento vertical que vai de até , orientada para cima. - O trabalho pedido é a integral de linha (produto escalar)
.
Não começo a resolver aqui — só deixei claro o que temos e o que se pede.
Passo 2
Definição prática do trabalho e parametrização: O trabalho é
. Para calcular isso escolhemos uma parametrização de
. Como o segmento é vertical em
e
vai de
a
(orientação para cima), parametrize por
Então
e
. Explico: parametrizar é trocar a curva por uma função de um parâmetro
; aqui
é simplesmente a coordenada
, o que fica bem natural e evita complicação.
Passo 3
Avaliar
ao longo da parametrização e montar a integral: Substituindo
em
obtemos
O produto escalar
é
Portanto o trabalho é
Passo 4
Calcular a integral
com substituição: note que a derivada de
é
. Faça a substituição
, então
. Assim
Aqui
e
. A integral de
é
, logo
Passo 5
Observação alternativa (útil na prova): o campo
é gradiente de uma função potencial, o que simplifica ainda mais. Defina
. Calculando parcials:
logo
. Pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos,
. Esta abordagem é mais rápida quando se reconhece a potencial.