Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} :
F(x, y)=\left(\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \text { e } \quad G(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) .
Calcule o trabalho do campo G ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=9 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o trabalho do campo vetorial G ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=9 orientada no sentido anti-horário. Informações dadas e o que se pede:
  • O campo é G(x,y)=\left(\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}},\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\right), definido em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
  • A curva é a circunferência de raio 3, descrita por x^{2}+y^{2}=9, orientação anti-horária (sentido positivo).
  • O pedido é o trabalho, isto é, o integral de linha fechado
\oint_{C} G\cdot d\mathbf{r}.
Nada mais será assumido; vou parametrizar a circunferência e calcular o integral de linha diretamente.

Passo 2

Lembrete didático — o que é o trabalho (integral de linha) de um campo vetorial: se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando em um intervalo [a,b], o trabalho do campo G ao longo de C é
\int_{C} G\cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} G(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explico cada peça: \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada da parametrização), G(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva, e o produto escalar dá a componente tangencial do campo que contribui para o trabalho. A orientação da curva é dada pelo sentido em que t aumenta.

Passo 3

Parametrizo a circunferência de raio 3 no sentido anti-horário usando o parâmetro t\in[0,2\pi]:
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)) = (3\cos t,\,3\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
No sentido anti-horário, t aumenta de 0 a 2\pi. A derivada é
\mathbf{r}'(t) = (-3\sin t,\,3\cos t).

Passo 4

Avalio o campo G ao longo da parametrização. Note que na curva x^{2}+y^{2}=9 temos x^{2}+y^{2}=9 sempre. Substituindo x=3\cos t e y=3\sin t,
G(\mathbf{r}(t))=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) = \left(\frac{-3\sin t}{9},\frac{3\cos t}{9}\right) = \left(-\frac{\sin t}{3},\frac{\cos t}{3}\right).

Passo 5

Calculo o produto escalar G(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
G(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = \left(-\frac{\sin t}{3}\right)(-3\sin t) + \left(\frac{\cos t}{3}\right)(3\cos t).
Faço cada termo: \left(-\dfrac{\sin t}{3}\right)(-3\sin t)=\sin^{2}t e \left(\dfrac{\cos t}{3}\right)(3\cos t)=\cos^{2}t. Somando,
G(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = \sin^{2}t + \cos^{2}t = 1.
Aqui usei a identidade trigonométrica básica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 6

Agora integro sobre t de 0 a 2\pi:
\oint_{C} G\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi.
Interpretação breve: ao percorrer a circunferência, o campo G tem componente tangencial constante igual a 1, portanto o trabalho total é o comprimento do intervalo de parâmetro, 2\pi.

Resposta

\,2\pi\,

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