Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em
:
Verifique se algum deles é conservativo e, caso positivo, determine uma função potencial;
Passo 1
O enunciado dá dois campos vetoriais definidos em
:
e
Perguntas pedidas: verificar se cada um desses campos é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial (ou seja, uma função escalar cuja gradiente seja o campo). Lista das informações relevantes: domínio comum é
(o plano com a origem retirada); as componentes
e
de cada campo estão dadas explicitamente acima.
Passo 2
O que significa “conservativo” e como verificamos na prática (aula rápida, passo a passo). Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escala r
tal que
Duas ferramentas úteis:
- Se
existe então necessariamente (essa igualdade é a “condição de irrotacionalidade” ou “curl zero” em 2D). Isso é necessário, não sempre suficiente se o domínio não for simplesmente conexo. - Em domínios simplesmente conexos, a condição
é também suficiente. Atenção: o domínio dado NÃO é simplesmente conexo (tem um buraco na origem), então teremos de checar com cuidado: verificar curl é um começo, mas pode não bastar para garantir existência global de potencial. Outra estratégia prática é tentar adivinhar um e derivá-lo para verificar.
Passo 3
Verificação e potencial candidato para
. Observação:
lembra a derivada de uma função logarítmica porque as componentes têm a forma
e
. Vamos tentar
Calcule as derivadas parciais de
:
Comparando, vemos que
Portanto
é uma potencial para
(definida e diferenciável em todo
), logo
é conservativo nessa região.
Passo 4
Comentário didático sobre o resultado para
. A escolha de
veio da observação que a derivada de
traz um fator
e a derivada interna dá os
. Em provas, esse tipo de reconhecimento (formas como
e fatores
) é uma dica forte para tentar um logaritmo como potencial. Anote que
é uma função bem definida e suave em
, então não há problema em usar como potencial global no domínio dado.
Passo 5
Verificação da condição de curl para
. Para
temos
e
. Calcule
e
com cuidado (mostrando as contas):
Agora tome a diferença:
Logo o curl é zero em
. Isso mostra que
é irrotacional, mas, por si só, não garante existência de potencial global por causa do buraco na origem.
Passo 6
Mostre que
NÃO é conservativo globalmente: use uma integral de linha fechada que dá diferente de zero. Considere a circunferência unidade parametrizada por
Então
. Em pontos da circunferência temos
, logo
O produto escalar é
A integral de linha ao redor do círculo é
Se
fosse conservativo com potencial global
, toda integral de linha ao longo de curva fechada deveria ser zero (porque integraria a diferença
). Como encontramos uma curva fechada cujo integral é
, é impossível haver um potencial global em todo
. Portanto
não é conservativo nesse domínio.
Passo 7
Comentário didático e intuição adicional sobre
. Apesar de não haver potencial global, localmente (em qualquer região simplesmente conexa que não envolva dar volta em torno da origem) existe um potencial:
é o gradiente da função “ângulo”
onde essa função é escolhida com um ramo contínuo. Formalmente, se definirmos
em um semiplano onde isso é contínuo, então
O problema é que a função ângulo é multivaluada ao redor da origem (tem salto de
ao contornar a origem), por isso não existe uma
contínua e global em
.