Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
\frac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}}+\frac{2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a soma
\frac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}}+\frac{2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}}.
Informações relevantes que temos:
  • As duas frações têm o mesmo denominador: \,1-\sqrt{5}\,.
  • Os numeradores são 2+\sqrt{3} e 2-\sqrt{3}.
    A tarefa é simplificar essa expressão e apresentar o resultado sem radicais no denominador (se possível).

Passo 2

Quando duas frações têm o mesmo denominador, podemos somar simplesmente somando os numeradores e mantendo o denominador comum. Ou seja,
\frac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}}+\frac{2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}}=\frac{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}{1-\sqrt{5}}.
Isso evita trabalhar com cada fração separadamente.

Passo 3

Agora somamos os numeradores. Observe que +\sqrt{3} e -\sqrt{3} se cancelam:
(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3}) = 2+2 + \sqrt{3}-\sqrt{3} = 4.
Portanto a soma vira
\frac{4}{1-\sqrt{5}}.

Passo 4

Explicação didática sobre racionalização: normalmente queremos eliminar raízes do denominador. A técnica é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de \,1-\sqrt{5}\, é \,1+\sqrt{5}\,. Isso funciona porque
(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2-(\sqrt{5})^2 = 1-5 = -4,
ou seja, o produto é um número racional (sem raiz).

Passo 5

Multiplicamos numerador e denominador por \,1+\sqrt{5}\,:
\frac{4}{1-\sqrt{5}}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{4(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}.
Usando o cálculo do passo anterior para o denominador temos
(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=-4.
Logo a expressão fica
\frac{4(1+\sqrt{5})}{-4}.

Passo 6

Agora simplificamos a fração: o fator 4 no numerador cancela com o -4 do denominador, dando -1 multiplicando 1+\sqrt{5}. Assim
\frac{4(1+\sqrt{5})}{-4}=-(1+\sqrt{5})=-1-\sqrt{5}.

Resposta

-1-\sqrt{5}

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