Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
\sqrt[3]{\frac{64}{125}}+\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sqrt[3]{\frac{64}{125}}+\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}.
Informações dadas:
  • O primeiro termo é \sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}.
  • O segundo termo é \left(\dfrac{27}{8}\right)^{\tfrac{2}{3}}.
    A tarefa é efetuar essas operações e apresentar o resultado numérico exato.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Exponente fracionário: para números positivos e inteiros m e n>0,
a^{\frac{m}{n}} = \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}.
Aqui a é a base, n é o índice da raiz e m é a potência depois da raiz. Exemplo rápido: \;8^{\tfrac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^{2} = 2^{2}=4.
  • Potência de uma fração: para expoente real r,
\left(\frac{a}{b}\right)^{r} = \frac{a^{r}}{b^{r}},
desde que b\neq0. Isso permite aplicar a raiz e a potência separadamente no numerador e denominador.
  • Ordem prática: com expoentes \tfrac{m}{n} é muitas vezes conveniente primeiro tirar a raiz n-ésima (isto é, usar a parte \tfrac{1}{n}) e depois elevar à potência m. Isso evita números grandes.

Passo 3

Calcular o primeiro termo \sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}.
Aplicando a propriedade da raiz de uma fração:
\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}.
Agora identificar as raízes cúbicas:
\sqrt[3]{64}=4\quad\text{pois}\quad 4^{3}=64,
\sqrt[3]{125}=5\quad\text{pois}\quad 5^{3}=125.
Portanto
\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Calcular o segundo termo \left(\dfrac{27}{8}\right)^{\tfrac{2}{3}}.
Usando a ideia de primeiro tirar a raiz cúbica (expoente \tfrac{1}{3}) e depois elevar ao quadrado:
\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{2}.
Agora a raiz cúbica da fração:
\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2},
pois \sqrt[3]{27}=3 e \sqrt[3]{8}=2. Elevando ao quadrado:
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}.
Logo
\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}=\frac{9}{4}.

Passo 5

Somar os dois resultados:
\frac{4}{5}+\frac{9}{4}.
Encontrar denominador comum: 20. Converter:
\frac{4}{5}=\frac{16}{20},\qquad \frac{9}{4}=\frac{45}{20}.
Somando:
\frac{16}{20}+\frac{45}{20}=\frac{61}{20}.
Verificação rápida em decimal (só para conferir): \dfrac{4}{5}=0,8 e \dfrac{9}{4}=2,25, soma 3,05 que é \dfrac{61}{20}. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{61}{20}

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