Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
\frac{\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^{2} \cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)}{-\frac{3}{5} \cdot\left(-2 \frac{1}{3}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^{2} \cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)}{-\frac{3}{5} \cdot\left(-2 \frac{1}{3}\right)^{2}}.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • Um somatório dentro de parênteses: \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right).
  • Um quadrado aplicado a esse somatório: \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^{2}.
  • Outro fator no numerador: \left(1+\frac{1}{5}\right).
  • No denominador há -\frac{3}{5} multiplicando o quadrado do número misto -2\frac{1}{3}, ou seja -\frac{3}{5}\cdot\left(-2\frac{1}{3}\right)^{2}.
O que é pedido: efetuar todas as operações e simplificar o resultado final.

Passo 2

Primeiro calculo o interior do primeiro parêntese: -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}.
Para somar frações uso o denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 2 e 3 é 6. Então:
-\frac{1}{2} = -\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}.
Somando:
-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}.
Logo
\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{6}.

Passo 3

Agora aplico o quadrado ao resultado do passo anterior. Lembre que ao elevar um número negativo ao quadrado o resultado é positivo, porque (\\ -a)^2=a^2. Assim:
\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1^{2}}{6^{2}}=\frac{1}{36}.

Passo 4

Calculo o outro fator do numerador: 1+\dfrac{1}{5}.
Escrevo 1 como \dfrac{5}{5} para somar:
1+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}.

Passo 5

Multiplico os dois fatores do numerador: \dfrac{1}{36} e \dfrac{6}{5}.
\frac{1}{36}\cdot\frac{6}{5}=\frac{6}{36\cdot5}=\frac{6}{180}.
Faço uma simplificação imediata: 6 e 36 têm divisor comum 6, então \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}. Assim
\frac{1}{36}\cdot\frac{6}{5}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}.
Portanto o numerador inteiro vale \dfrac{1}{30}.

Passo 6

Agora trato o denominador. Primeiro converto o número misto -2\frac{1}{3} em fração imprópria. Para 2\frac{1}{3} temos
2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3}.
Como o número é negativo, -2\frac{1}{3}=-\dfrac{7}{3}.

Passo 7

Elevo -\dfrac{7}{3} ao quadrado. Novamente o quadrado anula o sinal negativo:
\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{7^{2}}{3^{2}}=\frac{49}{9}.

Passo 8

Multiplico esse resultado por -\dfrac{3}{5} que está no denominador:
-\frac{3}{5}\cdot\frac{49}{9}=-\frac{3\cdot49}{5\cdot9}=-\frac{147}{45}.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 3:
-\frac{147}{45}=-\frac{49}{15}.
Portanto o denominador total vale -\dfrac{49}{15}.

Passo 9

Agora volto à fração inicial: o numerador é \dfrac{1}{30} e o denominador é -\dfrac{49}{15}. Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
\frac{\frac{1}{30}}{-\frac{49}{15}}=\frac{1}{30}\cdot\left(-\frac{15}{49}\right).
Posso simplificar antes de multiplicar: 15 e 30 têm divisão comum 15, então \dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}. Assim
\frac{1}{30}\cdot\left(-\frac{15}{49}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{49}=-\frac{1}{98}.

Passo 10

Conferindo: todos os sinais e simplificações foram tratados (o quadrado tornou positivos os números quadrados; o sinal negativo remanescente veio do fator -\dfrac{3}{5} no denominador, resultando em sinal negativo final). O valor está em forma de fração já simplificada.

Resposta

-\frac{1}{98}

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