Exercício 0.12 Encontre dois números naturais cuja soma é s=304 e cujo mdc é 16 .

Passo 1

O enunciado pede dois números naturais a e b tais que
  1. a + b = 304
  2. \gcd(a,b)=16
    O conteúdo que vamos usar é a propriedade de que, se \gcd(a,b)=d, então existem inteiros positivos x,y com \gcd(x,y)=1 tais que
a = d\,x,\quad b = d\,y.

Passo 2

Aplicando essa ideia com d=16, escrevemos
a = 16x,\quad b = 16y,\quad \gcd(x,y)=1.

Passo 3

Como a+b=304, temos
16x + 16y = 304
ou seja,
x + y = 19.

Passo 4

Precisamos escolher x,y\in\mathbb{N} com x+y=19 e \gcd(x,y)=1.
Como 19 é primo, qualquer par de naturais positivos que some 19 é coprimo (se um divisor comum dividisse ambos, dividira também 19, o que só pode ser 1).

Passo 5

Por exemplo, tomemos x=9 e y=10. Então
a = 16\cdot 9 = 144, \quad b = 16\cdot10 = 160.
Verificamos que 144+160=304 e \gcd(144,160)=16.

Resposta

Os números podem ser 144 e 160.

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