Fatore x^{4}-1 em \mathbb{Q}[x].

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio em \mathbb{Q}[x] x^4 - 1.
O conteúdo principal aqui é a fatoração por diferença de quadrados, que diz que
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).

Passo 2

Aplicando diferença de quadrados a \,x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2, obtemos
x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1).

Passo 3

O fator x^2 - 1 é novamente uma diferença de quadrados, pois
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
Já o fator x^2 + 1 não pode ser decomposto em fatores de coeficientes racionais, pois suas raízes são \pm i, não racionais.

Resposta

x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1).

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