Exercício 0.14 Prove que o produto de três números naturais consecutivos é divisível por 6.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o produto de três números naturais consecutivos é divisível por 6. Vamos chamar esses números de n, n+1 e n+2. O conteúdo é divisibilidade em aritmética elementar: precisamos mostrar que entre três consecutivos existe um múltiplo de 3 e um múltiplo de 2.

Passo 2

Para ver que existe um múltiplo de 3, analisamos as classes de n módulo 3. Qualquer inteiro satisfaz
n\equiv 0,\;1\text{ ou }2\pmod{3}.
Se n\equiv 0 então 3\mid n. Se n\equiv 1 então n+2\equiv 0\pmod{3}. Se n\equiv 2 então n+1\equiv 0\pmod{3}. Logo, um dos três termos é múltiplo de 3.

Passo 3

Para ver que um deles é par, basta observar que números pares e ímpares se alternam. Assim, entre n e n+1 já há um número par; portanto, em n,n+1,n+2 pelo menos um será divisível por 2.

Passo 4

Dos passos anteriores temos que
2\mid n(n+1)(n+2) \quad\text{e}\quad 3\mid n(n+1)(n+2).
Como 6=2\cdot3, o produto possui fatores 2 e 3, logo
6\mid n(n+1)(n+2).

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 6\mid n(n+1)(n+2).

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