Exercício 0.14 Prove que o produto de três números naturais consecutivos é divisível por 6.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o produto de três números naturais consecutivos é divisível por 6. Vamos chamar esses números de
,
e
. O conteúdo é divisibilidade em aritmética elementar: precisamos mostrar que entre três consecutivos existe um múltiplo de 3 e um múltiplo de 2.
Passo 2
Para ver que existe um múltiplo de 3, analisamos as classes de
módulo 3. Qualquer inteiro satisfaz
Se
então
. Se
então
. Se
então
. Logo, um dos três termos é múltiplo de 3.
Passo 3
Para ver que um deles é par, basta observar que números pares e ímpares se alternam. Assim, entre
e
já há um número par; portanto, em
pelo menos um será divisível por 2.
Passo 4
Dos passos anteriores temos que
Como
, o produto possui fatores 2 e 3, logo
Resposta
Para todo
,
.