Exercício 12. Encontre o fluxo exterior do campo
através do cardioide
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo exterior do campo
através da curva fechada dada pelo cardioide
.
Conteúdo: usaremos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green para fluxo), que diz que, para uma região com fronteira
,
Conteúdo: usaremos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green para fluxo), que diz que, para uma região
onde
.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Logo
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo exterior vale
onde
é a região interior ao cardioide
.
Passo 4
Em coordenadas polares temos
e
. Assim
A integral interna dá
; ficamos com
Passo 5
Observe que o cardioide é simétrico em relação ao eixo
, logo a região
é simétrica para
. Como estamos integrando
(ou seja,
) sobre uma região simétrica, o valor da integral é zero. Matematicamente, também se verifica que
Resposta
O fluxo exterior do campo através do cardioide é
.