Exercício 10. Seja
\vec{F}(x, y)=\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}} \vec{i}+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}} \vec{j}
\vec{n} o normal unitário exterior ao círculo x^{2}+y^{2} \leq 1. Calcule \int_{C} \vec{F} \vec{n} d s onde C está parametrizada por r(t)=(\cos t, \sin t), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(x,y)=\frac{x}{(x^2+y^2)^5}\,\vec{i}+\frac{y}{(x^2+y^2)^5}\,\vec{j}
através da semicircunferência C\colon r(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le\pi, usando o vetor normal unitário exterior ao disco x^2+y^2\le1. O conteúdo aqui é integral de linha de fluxo (fluxo = \int_C\vec F\cdot\vec n\,ds), que faremos parametrizando C, encontrando \vec n e ds.

Passo 2

Parametrizando C por
r(t)=(\cos t,\sin t),\quad 0\le t\le\pi,
temos
r'(t)=(-\sin t,\cos t),
logo
ds=\|r'(t)\|\,dt=1\cdot dt=dt.
Como C é parte da fronteira do disco unitário, o normal exterior é o radial saindo do centro, ou seja
\vec n(t)=\frac{r(t)}{\|r(t)\|}=(\cos t,\sin t).

Passo 3

Em cada ponto de C, x^2+y^2=1, então
\vec F\bigl(r(t)\bigr) =\Bigl(\frac{\cos t}{1^5},\,\frac{\sin t}{1^5}\Bigr) =(\cos t,\sin t).

Passo 4

O integrando fica
\vec F(r(t))\cdot \vec n(t) =(\cos t,\sin t)\cdot(\cos t,\sin t) =\cos^2t+\sin^2t=1.
Portanto
\vec F\cdot\vec n\,ds =1\cdot dt.

Passo 5

Integramos de t=0 a t=\pi:
\int_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds =\int_{0}^{\pi}1\,dt =\pi.

Resposta

\pi

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