Exercício 12. Encontre o fluxo exterior do campo
F=\left(3 x y-\frac{x}{1+y^{2}}\right) \vec{i}+\left(e^{x}+\operatorname{arctg} y\right) \vec{j}
através do cardioide r=a(1+\cos \theta), a>0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo exterior do campo
F = \bigl(3xy - \tfrac{x}{1+y^2}\bigr)\,\vec{i} + \bigl(e^x + \arctan y\bigr)\,\vec{j}
através da curva fechada dada pelo cardioide r = a(1+\cos\theta).
Conteúdo: usaremos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green para fluxo), que diz que, para uma região D com fronteira C,
\text{fluxo exterior} = \iint_{D}\bigl(\partial_x P + \partial_y Q\bigr)\,dA,
onde F=(P,Q).

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\partial_x P = \partial_x\Bigl(3xy - \tfrac{x}{1+y^2}\Bigr) = 3y - \frac{1}{1+y^2},
\partial_y Q = \partial_y\bigl(e^x + \arctan y\bigr) = 0 + \frac{1}{1+y^2}.
Logo
\partial_x P + \partial_y Q = 3y - \frac{1}{1+y^2} + \frac{1}{1+y^2} = 3y.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo exterior vale
\iint_{D}3y\,dA,
onde D é a região interior ao cardioide r=a(1+\cos\theta).

Passo 4

Em coordenadas polares temos y = r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{D}3y\,dA = 3\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a(1+\cos\theta)} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta = 3\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\int_{0}^{a(1+\cos\theta)}r^2\,dr\,d\theta.
A integral interna dá \bigl[a^3(1+\cos\theta)^3/3\bigr]; ficamos com
a^3\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(1+\cos\theta)^3\,d\theta.

Passo 5

Observe que o cardioide é simétrico em relação ao eixo x, logo a região D é simétrica para y\to -y. Como estamos integrando y (ou seja, \sin\theta) sobre uma região simétrica, o valor da integral é zero. Matematicamente, também se verifica que
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(1+\cos\theta)^3\,d\theta = 0.

Resposta

O fluxo exterior do campo através do cardioide é 0.

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