Seja A a área do conjunto limitado pelo eixo x e pela curva C. Calcule \int_{C} \vec{F} \vec{n} d s, onde \vec{n} é a normal a C que aponta para fora do conjunto acima mencionado.
O conjunto A é a região limitada pela curva C acima e pelo eixo x. Queremos calcular o fluxo
\int_{C}\vec F\cdot\mathbf n\,ds
onde \mathbf n é a normal a C apontando para fora de A. Usaremos o Teorema de Green (fluxo = integral dupla da divergência) e o fato de que o segmento no eixo x não contribui.
I =\int_{0}^{1}\Bigl(-12\Bigr)\,dt +36\int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^{4}} -24\int_{0}^{1}\frac{dt}{(1+t^{4})^{2}}.
Sabe‐se \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^{4}}
=\frac{\pi}{4\sqrt2}+\frac{1}{2\sqrt2}\ln\bigl(1+\sqrt2\bigr) e, usando a derivada de \tfrac{t}{1+t^{4}}, \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1-3t^{4}}{(1+t^{4})^{2}}\,dt=\frac12,
o que leva a \displaystyle\int_{0}^{1}\!\tfrac{dt}{(1+t^{4})^{2}}
=\tfrac18+\tfrac{3}{4}\!\int_{0}^{1}\!\tfrac{dt}{1+t^{4}}. Fazendo as contas, obtém‐se