- Em um sistema vibratório,
, e
. Sobre a massa, atua uma força harmônica de amplitude 180 N e frequência
. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e
, determinar a expressão que representa o movimento da massa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
-
. -
. -
. - Força harmônica aplicada com amplitude
e frequência . - Deslocamento inicial
. - Velocidade inicial
.
-
-
O que o problema pede:
- Determinar a expressão
que representa o movimento da massa para .
- Determinar a expressão
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento (equação de segunda ordem para um sistema massa-mola-amortecedor com excitação harmônica):
onde
é a pulsação da força externa. Definimos
Explicação rápida:
é a aceleração,
é a velocidade; o termo
é a força restauradora da mola,
é a força de amortecimento, e
é a força externa periódica.
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Calcular a pulsação natural não amortecida
e o termo de amortecimento
:
Comentário:
é a taxa de decaimento exponencial do modo livre; a razão de amortecimento
indica se o sistema é subamortecido, crítico ou superamortecido. Aqui:
ou seja, o sistema é subamortecido (
), então a solução homogênea será oscilatória com frequência amortecida
.
Passo 5
Calcular a pulsação amortecida
:
Explicação: em regime livre amortecido a oscilação ocorre com pulsação
, menor que
por causa do amortecimento.
Passo 6
Escrever a solução geral como soma da solução homogênea
e de uma solução particular forçada
:
A solução homogênea (subamortecida) tem a forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 7
Encontrar a solução particular (regime permanente) para a excitação harmônica. Usamos a fórmula de amplitude-fase para um forçamento
:
onde
é a amplitude estacionária, e
é a defasagem, dada por
Comentário: a função
entrega o ângulo correto considerando o sinal de
e
; isto garante a fase no quadrante certo.
Passo 8
Calcular os termos numéricos necessários para
e
.
Primeiro
Então
E
Agora o denominador
Portanto a amplitude estacionária é
A defasagem (em radianos) usando
é
que em graus é aproximadamente
.
Explicação rápida: o sinal negativo de
indica que a frequência de excitação
está acima da frequência não amortecida
(a resposta está na região de massa-dominância), o que provoca defasagem maior que
.
Passo 9
Agora impondo as condições iniciais para determinar
e
.
No instante
:
Portanto
A derivada geral é
com
Impondo
obtemos
logo
Passo 10
Calcular numericamente
e
com os valores já encontrados.
Usando
,
,
(pois
), obtemos
Calcular
:
(pois
), e
, então
Agora
Com
e
,
Passo 11
Escrever a solução completa com todos os números arredondados de forma consistente (unidades em metros e rad/s):
Explicação final curta: a primeira parcela é a resposta transitória (decai exponencialmente por causa do amortecimento) e a segunda parcela é a resposta estacionária forçada (oscilação permanente com a frequência da força externa, amplitude
e defasagem
). Para
grande, o termo exponencial tende a zero e fica só a parcela forçada.