1. Em um sistema vibratório, m=10 \mathrm{~kg}, \mathrm{k}=2,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}, e \mathrm{c}=45 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}. Sobre a massa, atua uma força harmônica de amplitude 180 N e frequência 3,5 \mathrm{~Hz}. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 5 \mathrm{~m} / \mathrm{seg}, determinar a expressão que representa o movimento da massa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • m=10\\ \mathrm{kg}.
    • k=2{,}5\\ \mathrm{kN/m}=2500\\ \mathrm{N/m}.
    • c=45\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
    • Força harmônica aplicada com amplitude F_0=180\\ \mathrm{N} e frequência f=3{,}5\\ \mathrm{Hz}.
    • Deslocamento inicial x(0)=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade inicial \dot{x}(0)=5\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a expressão x(t) que representa o movimento da massa para t\ge0.

Passo 2

Escrevemos a equação do movimento (equação de segunda ordem para um sistema massa-mola-amortecedor com excitação harmônica):
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos(\Omega t),
onde \Omega é a pulsação da força externa. Definimos
\Omega=2\pi f.
Explicação rápida: \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} é a velocidade; o termo kx é a força restauradora da mola, c\dot{x} é a força de amortecimento, e F_0\cos(\Omega t) é a força externa periódica.

Passo 3

Calcular \Omega:
\Omega=2\pi\cdot 3{,}5 = 7\pi \approx 21{,}9911486\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a pulsação natural não amortecida \omega_n e o termo de amortecimento \alpha:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{2500}{10}}=\sqrt{250}\approx 15{,}8114\\ \text{rad/s},
\alpha=\frac{c}{2m}=\frac{45}{2\cdot 10}=\frac{45}{20}=2{,}25\\ \text{s}^{-1}.
Comentário: \alpha é a taxa de decaimento exponencial do modo livre; a razão de amortecimento \zeta=\alpha/\omega_n indica se o sistema é subamortecido, crítico ou superamortecido. Aqui:
\zeta=\frac{\alpha}{\omega_n}\approx\frac{2{,}25}{15{,}8114}\approx 0{,}1422,
ou seja, o sistema é subamortecido ( 0<\zeta<1), então a solução homogênea será oscilatória com frequência amortecida \omega_d.

Passo 5

Calcular a pulsação amortecida \omega_d:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \approx 15{,}8114\sqrt{1-0{,}1422^2}\approx 15{,}641\\ \text{rad/s}.
Explicação: em regime livre amortecido a oscilação ocorre com pulsação \omega_d, menor que \omega_n por causa do amortecimento.

Passo 6

Escrever a solução geral como soma da solução homogênea x_h(t) e de uma solução particular forçada x_p(t):
x(t)=x_h(t)+x_p(t).
A solução homogênea (subamortecida) tem a forma
x_h(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 7

Encontrar a solução particular (regime permanente) para a excitação harmônica. Usamos a fórmula de amplitude-fase para um forçamento \cos(\Omega t):
x_p(t)=X\cos(\Omega t-\varphi),
onde
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(c\Omega)^2}}
é a amplitude estacionária, e \varphi é a defasagem, dada por
\varphi=\operatorname{atan2}(c\Omega,\;k-m\Omega^2).
Comentário: a função \operatorname{atan2}(y,x) entrega o ângulo correto considerando o sinal de x e y; isto garante a fase no quadrante certo.

Passo 8

Calcular os termos numéricos necessários para X e \varphi.
Primeiro
m\Omega^2=10\cdot(7\pi)^2=10\cdot 49\pi^2=490\pi^2\approx 4836{,}106156\\ \text{(N/m)}.
Então
k-m\Omega^2=2500-4836{,}106156\approx -2336{,}106156\\ \text{(N/m)}.
E
c\Omega=45\cdot 7\pi=315\pi\approx 989{,}601597\\ \text{(N)\,s/m}.
Agora o denominador
D=\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(c\Omega)^2}\approx\sqrt{5\,457\,391{,}94+979\,312{,}21}\approx 2537{,}06607.
Portanto a amplitude estacionária é
X=\frac{F_0}{D}=\frac{180}{2537{,}06607}\approx 0{,}070959\\ \text{m}\quad(=70{,}96\\ \text{mm}).
A defasagem (em radianos) usando \operatorname{atan2} é
\varphi=\operatorname{atan2}\big(989{,}601597,\;-2336{,}106156\big)\approx \pi-\arctan\!\big(\tfrac{989{,}601597}{2336{,}106156}\big)\approx 2{,}7397\\ \text{rad},
que em graus é aproximadamente 157{,}0^\circ.
Explicação rápida: o sinal negativo de k-m\Omega^2 indica que a frequência de excitação \Omega está acima da frequência não amortecida \omega_n (a resposta está na região de massa-dominância), o que provoca defasagem maior que 90^\circ.

Passo 9

Agora impondo as condições iniciais para determinar A e B.
No instante t=0:
x(0)=x_h(0)+x_p(0)=A+X\cos(-\varphi)=A+X\cos\varphi.
Portanto
A=x(0)-X\cos\varphi.
A derivada geral é
\dot{x}(t)=\dot{x}_h(t)+\dot{x}_p(t),
com
\dot{x}_h(0)=-\alpha A + B\omega_d, \qquad \dot{x}_p(0)=-X\Omega\sin(-\varphi)=X\Omega\sin\varphi.
Impondo \dot{x}(0)=\dot{x}_h(0)+\dot{x}_p(0) obtemos
\dot{x}(0)=-\alpha A + B\omega_d + X\Omega\sin\varphi,
logo
B=\frac{\dot{x}(0)+\alpha A - X\Omega\sin\varphi}{\omega_d}.

Passo 10

Calcular numericamente A e B com os valores já encontrados.
Usando x(0)=0{,}015\\ \text{m}, X\approx 0{,}070959\\ \text{m}, \cos\varphi\approx -0{,}92049 (pois \cos\varphi=(k-m\Omega^2)/D), obtemos
A=0{,}015 - 0{,}070959\cdot(-0{,}92049)\approx 0{,}015 + 0{,}06533\approx 0{,}08033\\ \text{m}.
Calcular X\Omega\sin\varphi: \sin\varphi\approx 0{,}391 (pois \sin\varphi=(c\Omega)/D), e \Omega\approx 21{,}99115, então
X\Omega\sin\varphi \approx 0{,}070959\cdot 21{,}99115\cdot 0{,}391 \approx 0{,}6086\\ \text{m/s}.
Agora
\alpha A = 2{,}25\cdot 0{,}08033\approx 0{,}1807\\ \text{m/s}.
Com \dot{x}(0)=5\\ \text{m/s} e \omega_d\approx 15{,}641\\ \text{rad/s},
B=\frac{5 + 0{,}1807 - 0{,}6086}{15{,}641}\approx \frac{4{,}5721}{15{,}641}\approx 0{,}2923\\ \text{m}.

Passo 11

Escrever a solução completa com todos os números arredondados de forma consistente (unidades em metros e rad/s):
x(t)=e^{-2{,}25\,t}\big(0{,}08033\cos(15{,}641\,t)+0{,}2923\sin(15{,}641\,t)\big)+0{,}070959\cos\big(21{,}99115\,t-2{,}7397\big).
Explicação final curta: a primeira parcela é a resposta transitória (decai exponencialmente por causa do amortecimento) e a segunda parcela é a resposta estacionária forçada (oscilação permanente com a frequência da força externa, amplitude X e defasagem \varphi). Para t grande, o termo exponencial tende a zero e fica só a parcela forçada.

Resposta

x(t)=e^{-2{,}25\,t}\big(0{,}08033\cos(15{,}641\,t)+0{,}2923\sin(15{,}641\,t)\big)+0{,}070959\cos\big(21{,}99115\,t-2{,}7397\big)\\ \text{(m)}

Exercícios relacionados