Exercício 12.12 - Hassani - 0 potencial de uma certa distribuição de cargas elétricas é dado por:
(a) Encontre o vetor campo elétrico
no ponto
e mostre que ele é normal a superfície,
(b) Mostre que o vetor obtido em (a) é normal a qualquer ponto dessa superfície. Interprete seu resultado.
(c) Mostre que o resultado obtido em (b) também ocorre para qualquer superfície,
Onde
é uma constante.
(c) Mostre que o resultado obtido em (b) também ocorre para qualquer superfície,
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que é pedido):
\n
\n
- A função potencial é
.
\n - (a) Pedem para encontrar o campo elétrico
no ponto e mostrar que esse vetor é normal à superfície
\n
- (b) Pedem para mostrar que o vetor obtido em (a) é normal a qualquer ponto dessa superfície e interpretar o resultado.
\n - (c) Pedem para mostrar que o mesmo fenômeno (do item b) ocorre para a família de superfícies
onde
é constante.
\n
\n
- Informação útil já visível: a superfície de (a) é um nível (uma “contour”) da função que aparece em
(é a curva onde ).
Passo 2
Calcular
: definição e procedimento passo a passo.
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\n
- Lembrete didático: o operador gradiente
aplicado a uma função escalar dá um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a , e . Em símbolos,
Cada componente nos diz a taxa de variação de
naquela direção.
\n
\n
- Aplicando isso a
:
\n
Calcule as derivadas parciais:
\n
- Portanto
E o campo elétrico é, por definição dada,
, ou seja
Passo 3
Avaliar
no ponto
.
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\n
- Substituímos
, , nas componentes de .
\n
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
\n
- Logo, o campo elétrico no ponto é
Passo 4
Mostrar que
é normal à superfície
no ponto dado.
\n
\n
- Defina a função
. A superfície dada é o conjunto de pontos onde .
\n - Lembrete teórico e prático (aula rápida): se
é diferenciável, então o gradiente é um vetor normal à superfície de nível constante. Uma demonstração simples: se é uma curva contida na superfície, então é constante; derivando em vem , ou seja é ortogonal a qualquer vetor tangente à superfície.
\n - Observe que
, logo . Portanto a direção normal dada por é exatamente a direção de .
\n - Como
, é um múltiplo escalar (neste caso vezes) do vetor normal . Multiplicar um vetor normal por escalar não muda a propriedade de normalidade — apenas inverte ou escala o sentido.
\n - Conclusão:
é paralelo (e portanto normal) ao vetor normal no ponto indicado. Assim é normal à superfície dada naquele ponto. (Se quiser ver isso por produto escalar: calcule no ponto e veja que é , que é exatamente vezes o que achamos.)
Passo 5
Mostrar que o vetor obtido em (a) é normal a qualquer ponto da superfície (item b) e interpretar.
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\n
- Para um ponto genérico
sobre a superfície , o gradiente de é
Como antes,
.
\n
\n
- Portanto em qualquer ponto da superfície
é proporcional a , logo é normal à superfície em qualquer ponto (porque é normal em qualquer ponto da superfície de nível).
\n
Interpretação física e geométrica (didática, motivacional):
\n - Esse resultado é o que a física costuma dizer: o campo elétrico é sempre perpendicular (normal) às superfícies equipotenciais. Aqui as superfícies
constante são superfícies equipotenciais (pois são níveis da mesma função ), e aponta na direção de decrescimento máximo da potencial e é ortogonal a essas superfícies. Em palavras leves: “linhas de campo cortam em ângulo reto as superfícies de mesmo potencial”.
Passo 6
Mostrar que o resultado vale para qualquer superfície
(item c).
\n
\n
- Considere a família de funções
. Cada define uma superfície de nível diferente.
\n - O gradiente é independente de
:
porque a constante
some ao derivar.
\n
\n
- Como
e difere de apenas por uma constante, temos sempre . Logo é normal a cada superfície dessa família, para todo valor de .
\n - Interpretação: a família de superfícies são elipsoides (ou degenerações) concêntricos; o campo elétrico em cada ponto está sempre ortogonal ao elipsoide que passa por esse ponto. Isso é genérico para qualquer família de superfícies que sejam níveis de um potencial escalar.
Resposta
(a)
. Esse vetor é normal à superfície
.
(b) Para qualquer ponto da superfície, é proporcional a
(onde
), logo é normal em qualquer ponto; interpretação: o campo elétrico é perpendicular às superfícies equipotenciais.
(c) O mesmo vale para qualquer constante :
é normal às superfícies
para todo
.
(b) Para qualquer ponto da superfície,
(c) O mesmo vale para qualquer constante