Exercício 12.12 - Hassani - 0 potencial de uma certa distribuição de cargas elétricas é dado por:
\Phi(x, y, z)=z^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}
(a) Encontre o vetor campo elétrico \vec{E}=-\nabla \Phi no ponto (3 / \sqrt{2}, 1,1 / 2) e mostre que ele é normal a superfície,
z^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}=1
(b) Mostre que o vetor obtido em (a) é normal a qualquer ponto dessa superfície. Interprete seu resultado.
(c) Mostre que o resultado obtido em (b) também ocorre para qualquer superfície,
z^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}=C
Onde \boldsymbol{C} é uma constante.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que é pedido):
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  • A função potencial é \Phi(x,y,z)=z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}.
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  • (a) Pedem para encontrar o campo elétrico \vec{E}=-\nabla\Phi no ponto \left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},\,1,\,\dfrac{1}{2}\right) e mostrar que esse vetor é normal à superfície
z^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}=1.
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  • (b) Pedem para mostrar que o vetor obtido em (a) é normal a qualquer ponto dessa superfície e interpretar o resultado.
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  • (c) Pedem para mostrar que o mesmo fenômeno (do item b) ocorre para a família de superfícies
z^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}=C,
onde C é constante.
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  • Informação útil já visível: a superfície de (a) é um nível (uma “contour”) da função que aparece em \Phi (é a curva onde \Phi=1).

Passo 2

Calcular \nabla\Phi: definição e procedimento passo a passo.
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  • Lembrete didático: o operador gradiente \nabla aplicado a uma função escalar \Phi(x,y,z) dá um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de \Phi em relação a x, y e z. Em símbolos,
\nabla\Phi=\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x},\;\frac{\partial\Phi}{\partial y},\;\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Cada componente nos diz a taxa de variação de \Phi naquela direção.
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  • Aplicando isso a \Phi(x,y,z)=z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}:
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    Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{9}\right)=\frac{2x}{9},
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^{2}}{4}\right)=\frac{y}{2},
\frac{\partial\Phi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(z^{2}\right)=2z.
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  • Portanto
\nabla\Phi=\left(\frac{2x}{9},\;\frac{y}{2},\;2z\right).
E o campo elétrico é, por definição dada, \vec{E}=-\nabla\Phi, ou seja
\vec{E}=\left(-\frac{2x}{9},\;-\frac{y}{2},\;-2z\right).

Passo 3

Avaliar \vec{E} no ponto \left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},\,1,\,\dfrac{1}{2}\right).
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  • Substituímos x=\dfrac{3}{\sqrt{2}}, y=1, z=\dfrac{1}{2} nas componentes de \vec{E}.
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    Primeira componente:
-\frac{2x}{9}=-\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=-\frac{6}{9\sqrt{2}}=-\frac{2}{3\sqrt{2}}.
Segunda componente:
-\frac{y}{2}=-\frac{1}{2}.
Terceira componente:
-2z=-2\cdot\frac{1}{2}=-1.
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  • Logo, o campo elétrico no ponto é
\vec{E}\!\left(\frac{3}{\sqrt{2}},1,\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{2}{3\sqrt{2}},\;-\frac{1}{2},\;-1\right).

Passo 4

Mostrar que \vec{E} é normal à superfície \;z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}=1\; no ponto dado.
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  • Defina a função F(x,y,z)=z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}-1. A superfície dada é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0.
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  • Lembrete teórico e prático (aula rápida): se F(x,y,z) é diferenciável, então o gradiente \nabla F é um vetor normal à superfície de nível F= constante. Uma demonstração simples: se \mathbf{r}(t) é uma curva contida na superfície, então F(\mathbf{r}(t)) é constante; derivando em t vem \nabla F\cdot \mathbf{r}'(t)=0, ou seja \nabla F é ortogonal a qualquer vetor tangente \mathbf{r}'(t) à superfície.
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  • Observe que F=\Phi-1, logo \nabla F=\nabla\Phi. Portanto a direção normal dada por \nabla F é exatamente a direção de \nabla\Phi.
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  • Como \vec{E}=-\nabla\Phi, \vec{E} é um múltiplo escalar (neste caso -1 vezes) do vetor normal \nabla F. Multiplicar um vetor normal por escalar não muda a propriedade de normalidade — apenas inverte ou escala o sentido.
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  • Conclusão: \vec{E} é paralelo (e portanto normal) ao vetor normal \nabla F no ponto indicado. Assim \vec{E}\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},1,\dfrac{1}{2}\right) é normal à superfície dada naquele ponto. (Se quiser ver isso por produto escalar: calcule \nabla F no ponto e veja que é \left(\dfrac{2}{3\sqrt{2}},\dfrac{1}{2},1\right), que é exatamente -1 vezes o \vec{E} que achamos.)

Passo 5

Mostrar que o vetor obtido em (a) é normal a qualquer ponto da superfície (item b) e interpretar.
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  • Para um ponto genérico (x,y,z) sobre a superfície z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}=1, o gradiente de F é
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{2x}{9},\;\frac{y}{2},\;2z\right).
Como antes, \vec{E}(x,y,z)=-\nabla\Phi(x,y,z)=-\nabla F(x,y,z).
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  • Portanto em qualquer ponto da superfície \vec{E} é proporcional a \nabla F, logo é normal à superfície em qualquer ponto (porque \nabla F é normal em qualquer ponto da superfície de nível).
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    Interpretação física e geométrica (didática, motivacional):
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  • Esse resultado é o que a física costuma dizer: o campo elétrico é sempre perpendicular (normal) às superfícies equipotenciais. Aqui as superfícies z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}= constante são superfícies equipotenciais (pois são níveis da mesma função \Phi), e \vec{E} aponta na direção de decrescimento máximo da potencial e é ortogonal a essas superfícies. Em palavras leves: “linhas de campo cortam em ângulo reto as superfícies de mesmo potencial”.

Passo 6

Mostrar que o resultado vale para qualquer superfície \;z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}=C\; (item c).
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  • Considere a família de funções F_C(x,y,z)=z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}-C. Cada C define uma superfície de nível diferente.
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  • O gradiente é independente de C:
\nabla F_C(x,y,z)=\left(\frac{2x}{9},\;\frac{y}{2},\;2z\right),
porque a constante C some ao derivar.
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  • Como \vec{E}=-\nabla\Phi e \Phi difere de F_C apenas por uma constante, temos sempre \vec{E}=-\nabla F_C. Logo \vec{E} é normal a cada superfície dessa família, para todo valor de C.
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  • Interpretação: a família de superfícies são elipsoides (ou degenerações) concêntricos; o campo elétrico em cada ponto está sempre ortogonal ao elipsoide que passa por esse ponto. Isso é genérico para qualquer família de superfícies que sejam níveis de um potencial escalar.

Resposta

(a) \vec{E}\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},1,\dfrac{1}{2}\right)=\left(-\dfrac{2}{3\sqrt{2}},\;-\dfrac{1}{2},\;-1\right). Esse vetor é normal à superfície z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}=1.
(b) Para qualquer ponto da superfície, \vec{E}=-\nabla\Phi é proporcional a \nabla\!F (onde F=\Phi-1), logo é normal em qualquer ponto; interpretação: o campo elétrico é perpendicular às superfícies equipotenciais.
(c) O mesmo vale para qualquer constante C: \vec{E}=-\nabla\Phi é normal às superfícies z^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{9}=C para todo C.

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