Exercício 1.6.1 - Arfken - Se
, encontre:
(a) 0 vetor gradiente
no ponto
.
(b) 0 módulo do vetor gradiente
no ponto (
).
(c) Os cossenos diretores de
em (
).
(a) 0 vetor gradiente
(b) 0 módulo do vetor gradiente
(c) Os cossenos diretores de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede três coisas no ponto
:
(a) o vetor gradiente em
;
(b) o módulo em
;
(c) os cossenos diretores (ou seja, os cossenos dos ângulos entre e os eixos
) em
.
(a) o vetor gradiente
(b) o módulo
(c) os cossenos diretores (ou seja, os cossenos dos ângulos entre
Informações relevantes dadas: a expressão analítica de
e o ponto onde avaliar
. Nada mais é necessário do enunciado.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (aula curta e prática). O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção coordenada:
Cada componente indica a taxa de variação de
quando variamos apenas uma coordenada. Para calcular cada parcial aqui usaremos a regra da cadeia: se temos uma função
com
e
, então
Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Primeiro a derivada externa:
Depois
com
é
Multiplicando (regra da cadeia) obtemos
onde
. Substituindo
de volta:
Passo 4
As derivadas parciais em
e
são análogas, só trocando a variável:
Portanto o gradiente geral é
Observação didática: isso mostra que
aponta na direção oposta ao vetor posição
, escalado por um fator que depende de
.
Passo 5
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule
em
:
Substituindo em
:
Escrevendo as componentes:
Passo 6
Calcular o módulo
em
. Primeiro usamos a forma vetorial:
Já sabemos
, portanto
Agora simplificamos potências de
. Note que
Então
Resultado simples: o módulo fica
.
Passo 7
Cossenos diretores: definição e cálculo. Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos entre o vetor
e cada eixo coordenado. Para um vetor
,
onde
são os ângulos com os eixos
. Aqui
, com componentes já encontradas, e
.
Calcule
:
Como
, isso vira
Para
e
aproveitamos a proporcionalidade com
: multiplicando
pelos fatores
e
obtemos
Passo 8
Verificação rápida (boa prática): conferimos que os quadrados dos cossenos somam
:
ok — os cossenos diretores estão consistentes.