Exercício 1.6.1 - Arfken - Se S(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3 / 2}, encontre:
(a) 0 vetor gradiente \nabla S no ponto (1,2,3).
(b) 0 módulo do vetor gradiente |\nabla S| no ponto ( 1,2,3 ).
(c) Os cossenos diretores de \nabla S em ( 1,2,3 ).

Passo 1

O enunciado fornece a função
S(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2}
e pede três coisas no ponto (1,2,3):
(a) o vetor gradiente \nabla S em (1,2,3);
(b) o módulo |\nabla S| em (1,2,3);
(c) os cossenos diretores (ou seja, os cossenos dos ângulos entre \nabla S e os eixos x,y,z) em (1,2,3).
Informações relevantes dadas: a expressão analítica de S(x,y,z) e o ponto onde avaliar (1,2,3). Nada mais é necessário do enunciado.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (aula curta e prática). O gradiente de uma função escalar S(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção coordenada:
\nabla S = \left(\frac{\partial S}{\partial x},\;\frac{\partial S}{\partial y},\;\frac{\partial S}{\partial z}\right).
Cada componente indica a taxa de variação de S quando variamos apenas uma coordenada. Para calcular cada parcial aqui usaremos a regra da cadeia: se temos uma função S(u) com u=x^{2}+y^{2}+z^{2} e S(u)=u^{-3/2}, então
\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{d}{du}\big(u^{-3/2}\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial S}{\partial x}. Primeiro a derivada externa:
\frac{d}{du}\big(u^{-3/2}\big) = -\frac{3}{2}\,u^{-5/2}.
Depois \dfrac{\partial u}{\partial x} com u=x^{2}+y^{2}+z^{2} é
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Multiplicando (regra da cadeia) obtemos
\frac{\partial S}{\partial x} = -\frac{3}{2}\,u^{-5/2}\cdot 2x = -3x\,u^{-5/2},
onde u=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Substituindo u de volta:
\frac{\partial S}{\partial x} = -\frac{3x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5/2}}.

Passo 4

As derivadas parciais em y e z são análogas, só trocando a variável:
\frac{\partial S}{\partial y} = -\frac{3y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5/2}}, \qquad \frac{\partial S}{\partial z} = -\frac{3z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5/2}}.
Portanto o gradiente geral é
\nabla S(x,y,z) = -\frac{3}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5/2}}(x,y,z).
Observação didática: isso mostra que \nabla S aponta na direção oposta ao vetor posição (x,y,z), escalado por um fator que depende de r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos em (1,2,3). Primeiro calcule u em (1,2,3):
u = 1^{2}+2^{2}+3^{2} = 1+4+9 = 14.
Substituindo em \nabla S:
\nabla S(1,2,3) = -\frac{3}{14^{5/2}}(1,2,3).
Escrevendo as componentes:
\nabla S(1,2,3)=\left(-\frac{3}{14^{5/2}},\; -\frac{6}{14^{5/2}},\; -\frac{9}{14^{5/2}}\right).

Passo 6

Calcular o módulo |\nabla S| em (1,2,3). Primeiro usamos a forma vetorial:
|\nabla S(1,2,3)| = \frac{3}{14^{5/2}}\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}.
Já sabemos \sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}, portanto
|\nabla S(1,2,3)| = \frac{3\sqrt{14}}{14^{5/2}}.
Agora simplificamos potências de 14. Note que
14^{5/2}=14^{2}\cdot 14^{1/2}=196\sqrt{14}.
Então
|\nabla S(1,2,3)| = \frac{3\sqrt{14}}{196\sqrt{14}} = \frac{3}{196}.
Resultado simples: o módulo fica \dfrac{3}{196}.

Passo 7

Cossenos diretores: definição e cálculo. Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos entre o vetor \nabla S e cada eixo coordenado. Para um vetor v=(v_x,v_y,v_z),
\cos\alpha = \frac{v_x}{|v|},\quad \cos\beta = \frac{v_y}{|v|},\quad \cos\gamma = \frac{v_z}{|v|},
onde \alpha,\beta,\gamma são os ângulos com os eixos x,y,z. Aqui v=\nabla S(1,2,3), com componentes já encontradas, e |v|=3/196.
Calcule \cos\alpha:
\cos\alpha = \frac{-\dfrac{3}{14^{5/2}}}{\dfrac{3}{196}} = -\frac{196}{14^{5/2}}.
Como 196=14^{2}, isso vira
\cos\alpha = -\frac{14^{2}}{14^{5/2}} = -14^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{14}}.
Para \cos\beta e \cos\gamma aproveitamos a proporcionalidade com (1,2,3): multiplicando \cos\alpha pelos fatores 2 e 3 obtemos
\cos\beta = -\frac{2}{\sqrt{14}},\qquad \cos\gamma = -\frac{3}{\sqrt{14}}.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática): conferimos que os quadrados dos cossenos somam 1:
\left(-\frac{1}{\sqrt{14}}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^{2} =\frac{1+4+9}{14}=\frac{14}{14}=1,
ok — os cossenos diretores estão consistentes.

Resposta

\nabla S(1,2,3)=\left(-\dfrac{3}{14^{5/2}},\; -\dfrac{6}{14^{5/2}},\; -\dfrac{9}{14^{5/2}}\right)
|\nabla S(1,2,3)|=\dfrac{3}{196}
\displaystyle (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{14}},\; -\dfrac{2}{\sqrt{14}},\; -\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)

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