Prove as seguintes identidades vetoriais usando a notação algébrica. Considere
um campo escalar
um campo vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
As informações dadas são:
-
é um campo escalar (ou seja, uma função que depende das coordenadas). -
é um campo vetorial, que em coordenadas tem componentes . - Queremos provar a igualdade acima usando notação algébrica (indexada).
Passo 2
Vou definir a notação e os operadores em componentes (passo didático):
- Denoto por
a derivada parcial em relação a , isto é . - Pela convenção de soma de Einstein, um índice repetido cima/baixo (ou repetido em produto) significa soma sobre
. Por exemplo . - A divergência de um campo vetorial
em componentes é
- O gradiente de um escalar
tem componentes . O produto escalar entre e é
Passo 3
Escrevo o lado esquerdo da identidade em notação indexada:
Isto é só a definição da divergência aplicada ao vetor cujo
-ésimo componente é
.
Passo 4
Aplico a regra do produto para derivadas parciais (a mesma regra de uma variável, componente a componente):
Explicando devagar: para cada
fixo,
é a derivada parcial em
de um produto de duas funções
e
; a regra do produto diz que isso é
. Somando sobre
(pela convenção de Einstein) obtemos a expressão acima.
Passo 5
Identifico os dois termos obtidos com as quantidades vetoriais conhecidas:
- O primeiro termo
é exatamente o produto escalar , pois . - O segundo termo
é , pois .
Portanto, juntando:
ou, em notação vetorial,
Passo 6
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido (opcional): tome
e
em 2D. Calculando diretamente:
e
que coincide com o resultado anterior (
), confirmando a identidade neste caso concreto.