Prove as seguintes identidades vetoriais usando a notação algébrica. Considere \boldsymbol{u}= u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) um campo escalar \mathrm{e} \vec{V}=\vec{V}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) um campo vetorial.
\nabla \cdot(\mathrm{u} \vec{V})=\vec{V} \cdot(\nabla u)+u(\nabla \cdot \vec{V})

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\nabla\cdot(u\vec V)=\vec V\cdot(\nabla u)+u(\nabla\cdot\vec V).
As informações dadas são:
  • u=u(x_{1},x_{2},x_{3}) é um campo escalar (ou seja, uma função que depende das coordenadas).
  • \vec V=\vec V(x_{1},x_{2},x_{3}) é um campo vetorial, que em coordenadas tem componentes \big(V_{1}(x),V_{2}(x),V_{3}(x)\big).
  • Queremos provar a igualdade acima usando notação algébrica (indexada).

Passo 2

Vou definir a notação e os operadores em componentes (passo didático):
  • Denoto por \partial_{i} a derivada parcial em relação a x_{i}, isto é \partial_{i}=\dfrac{\partial}{\partial x_{i}}.
  • Pela convenção de soma de Einstein, um índice repetido cima/baixo (ou repetido em produto) significa soma sobre i=1,2,3. Por exemplo \partial_{i}V_{i}=\sum_{i=1}^{3}\partial_{i}V_{i}.
  • A divergência de um campo vetorial \vec V em componentes é
\nabla\cdot\vec V=\partial_{i}V_{i}.
  • O gradiente de um escalar u tem componentes \partial_{i}u. O produto escalar entre \vec V e \nabla u é
\vec V\cdot(\nabla u)=V_{i}\partial_{i}u.

Passo 3

Escrevo o lado esquerdo da identidade em notação indexada:
\nabla\cdot(u\vec V)=\partial_{i}\big(u\,V_{i}\big).
Isto é só a definição da divergência aplicada ao vetor cujo i-ésimo componente é uV_{i}.

Passo 4

Aplico a regra do produto para derivadas parciais (a mesma regra de uma variável, componente a componente):
\partial_{i}\big(u\,V_{i}\big)=(\partial_{i}u)\,V_{i}+u\,(\partial_{i}V_{i}).
Explicando devagar: para cada i fixo, \partial_{i}(uV_{i}) é a derivada parcial em x_{i} de um produto de duas funções u(x) e V_{i}(x); a regra do produto diz que isso é (\partial_{i}u) V_{i} + u (\partial_{i}V_{i}). Somando sobre i (pela convenção de Einstein) obtemos a expressão acima.

Passo 5

Identifico os dois termos obtidos com as quantidades vetoriais conhecidas:
  • O primeiro termo (\partial_{i}u)\,V_{i} é exatamente o produto escalar \vec V\cdot(\nabla u), pois \vec V\cdot(\nabla u)=V_{i}\partial_{i}u.
  • O segundo termo u\,(\partial_{i}V_{i}) é u(\nabla\cdot\vec V), pois \nabla\cdot\vec V=\partial_{i}V_{i}.
Portanto, juntando:
\partial_{i}\big(u\,V_{i}\big)=V_{i}\partial_{i}u+u\,\partial_{i}V_{i},
ou, em notação vetorial,
\nabla\cdot(u\vec V)=\vec V\cdot(\nabla u)+u(\nabla\cdot\vec V).

Passo 6

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido (opcional): tome u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2} e \vec V=(x_{1},x_{2}) em 2D. Calculando diretamente:
\nabla\cdot(u\vec V)=\partial_{1}(x_{1}^{3}x_{2})+\partial_{2}(x_{1}^{2}x_{2}^{2})=3x_{1}^{2}x_{2}+2x_{1}^{2}x_{2},
e
\vec V\cdot(\nabla u)+u(\nabla\cdot\vec V)= (x_{1},x_{2})\cdot(2x_{1}x_{2},x_{1}^{2}) + x_{1}^{2}x_{2}(1+1)=2x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+2x_{1}^{2}x_{2}=5x_{1}^{2}x_{2},
que coincide com o resultado anterior ( 3x_{1}^{2}x_{2}+2x_{1}^{2}x_{2}=5x_{1}^{2}x_{2}), confirmando a identidade neste caso concreto.

Resposta

\nabla\cdot(u\vec V)=\vec V\cdot(\nabla u)+u(\nabla\cdot\vec V).

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