Exercício 12:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi / 2} x \sin y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi/2} x \sin y \, dy \, dx.
O conteúdo envolve integração iterada e podemos integrar em y primeiro, tratando x como constante.

Passo 2

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{\pi/2} x \sin y \, dy = x \int_{0}^{\pi/2} \sin y \, dy = x\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi/2} = x\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})+\cos(0)\bigr) = x(0+1) = x.

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral externa em x:
\int_{0}^{2} x \, dx = \bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2}-0 = 2.

Resposta

2

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