Exercício 16:
\int_{1}^{4} \int_{0}^{1}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo envolve integração iterada e reconhecimento de integral imprópria, pois o integrando tem singularidade em y=0.

Passo 2

Para tratar a singularidade em y=0, escrevemos a parte divergente como integral imprópria:
\int_{0}^{1}\frac{x}{y}\,dy =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{x}{y}\,dy.

Passo 3

Calculamos a integral interna com limite:
\int_{\varepsilon}^{1}\frac{x}{y}\,dy =x\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{y}\,dy =x\bigl[\ln y\bigr]_{\varepsilon}^{1} =x\bigl(\ln1-\ln\varepsilon\bigr) =-x\ln\varepsilon.

Passo 4

Ao fazer \varepsilon\to0^+, o termo -x\ln\varepsilon tende a +\infty para todo x>0. Logo a integral interna diverge.

Passo 5

Como a primeira integração em y já diverge, a integral dupla não converge para um valor finito.

Resposta

A integral não converge (diverge para +\infty).

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