Exercício 9: Enuncie o Princípio de Cavalieri e expresse sua relação com o Teorema de Fubini
Passo 1
O enunciado pede que a gente apresente o Princípio de Cavalieri e depois mostre como ele se relaciona com o Teorema de Fubini. O conteúdo envolve cálculo de volume por “fatiamento” de um sólido e interpretação desse processo como um caso de aplicação do Teorema de Fubini em integrais múltiplas.
Passo 2
O Princípio de Cavalieri afirma que, se dois sólidos em
estão contidos entre dois planos paralelos
e
e, para cada
, as áreas de suas secções transversais paralelas a esses planos forem iguais, então os volumes dos dois sólidos são iguais. Em particular, para um único sólido
entre
e
, o seu volume
é dado pela integral da área da secção em cada altura:
onde
é a área da interseção de
com o plano
.
Passo 3
Para ver a ligação com o Teorema de Fubini, representamos o volume de
como uma integral tripla da função indicadora
, que vale 1 dentro de
e 0 fora. Então
Pelo Teorema de Fubini, podemos integrar primeiro em
para cada
fixo e depois em
:
onde
. Esse cálculo mostra que o volume obtido por fatiamento (Princípio de Cavalieri) é exatamente um caso particular da troca de ordem de integração garantida pelo Teorema de Fubini.
Resposta
O Princípio de Cavalieri diz que, se dois sólidos têm secções transversais de mesma área em cada altura
, então eles têm volumes iguais, e para um único sólido
Esta fórmula é uma aplicação direta do Teorema de Fubini ao escrever