Exercício 9: Enuncie o Princípio de Cavalieri e expresse sua relação com o Teorema de Fubini

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente o Princípio de Cavalieri e depois mostre como ele se relaciona com o Teorema de Fubini. O conteúdo envolve cálculo de volume por “fatiamento” de um sólido e interpretação desse processo como um caso de aplicação do Teorema de Fubini em integrais múltiplas.

Passo 2

O Princípio de Cavalieri afirma que, se dois sólidos em \mathbb{R}^3 estão contidos entre dois planos paralelos z=a e z=b e, para cada z\in[a,b], as áreas de suas secções transversais paralelas a esses planos forem iguais, então os volumes dos dois sólidos são iguais. Em particular, para um único sólido S entre z=a e z=b, o seu volume V(S) é dado pela integral da área da secção em cada altura:
V(S)\;=\;\int_{a}^{b}A(z)\,dz
onde A(z) é a área da interseção de S com o plano z=\text{constante}.

Passo 3

Para ver a ligação com o Teorema de Fubini, representamos o volume de S como uma integral tripla da função indicadora \mathbf{1}_S(x,y,z), que vale 1 dentro de S e 0 fora. Então
V(S)\;=\;\iiint_{S}1\,dV.
Pelo Teorema de Fubini, podemos integrar primeiro em (x,y) para cada z fixo e depois em z:
\iiint_{S}1\,dV =\int_{a}^{b}\Bigl(\iint_{(x,y)\in S_z}1\,dA\Bigr)dz =\int_{a}^{b}A(z)\,dz,
onde S_z=\{(x,y)\mid(x,y,z)\in S\}. Esse cálculo mostra que o volume obtido por fatiamento (Princípio de Cavalieri) é exatamente um caso particular da troca de ordem de integração garantida pelo Teorema de Fubini.

Resposta

O Princípio de Cavalieri diz que, se dois sólidos têm secções transversais de mesma área em cada altura z\in[a,b], então eles têm volumes iguais, e para um único sólido S
V(S)=\int_{a}^{b}A(z)\,dz.
Esta fórmula é uma aplicação direta do Teorema de Fubini ao escrever
V(S)=\iiint_{S}1\,dV =\int_{a}^{b}\!\!\Bigl(\iint_{S_z}1\,dA\Bigr)\,dz=\int_{a}^{b}A(z)\,dz.

Exercícios relacionados