Exercício 12 Nos itens abaixo, desenhe o conjunto A dado e calcule sua área:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}-1 \leq y \leq 0\right\} ;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2 - 1 \le y \le 0\}
e pede para desenhá-lo e calcular sua área. O conteúdo é cálculo de área de regiões planas usando integração.

Passo 2

Para desenhar, note que a fronteira inferior é a parábola
y = x^2 - 1
com vértice em (0,-1) e cruzamentos com o eixo x em x=\pm1, e a fronteira superior é a reta
y = 0.
A região fica entre essas duas curvas.

Passo 3

Determina a projeção no eixo x resolvendo
x^2 - 1 \le 0 \;\Longrightarrow\; x^2 \le 1 \;\Longrightarrow\; -1 \le x \le 1.

Passo 4

A área é dada por
\text{Área} = \int_{-1}^{1} \bigl[y_{\text{sup}}(x) - y_{\text{inf}}(x)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{1} \bigl(0 - (x^2 - 1)\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx.Á

Passo 5

Calculando o integral:
\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \Bigl(1 - \tfrac{1}{3}\Bigr) - \Bigl(-1 + \tfrac{1}{3}\Bigr) = \tfrac{2}{3} - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3}.

Resposta

A área de A é \tfrac{4}{3}.

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