Sabendo-se que (1+1 / n)^{n} \rightarrow e verifique que
\left(1+1 / n^{2}\\right)^{n^{2}} \rightarrow e

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n^2}\bigr)^{n^2}=e
sabendo que
\lim_{k\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{k}=e.
O conteúdo é limites de sequências na forma exponencial; vamos reescrever n^2 como um novo índice.

Passo 2

Defina o novo índice m=n^2. Como n\to\infty, segue que m\to\infty. Reescrevendo a expressão em função de m, temos
\bigl(1+\tfrac{1}{n^2}\bigr)^{n^2} = \bigl(1+\tfrac{1}{m}\bigr)^{m}.

Passo 3

Pelo limite já conhecido
\lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{m}\bigr)^{m}=e,
concluímos imediata­mente que
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n^2}\bigr)^{n^2}=e.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n^2}\bigr)^{n^2}=e.

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