Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = n^{1/3}
e decidir se ela converge ou diverge, indicando o critério usado. Se possível, calcular o limite.

Passo 2

Mostramos que \(a_n) é monotonicamente crescente. A função f(x)=x^{1/3} é estritamente crescente em [0,\infty). Como n+1>n para todo n, segue que
a_{n+1} = (n+1)^{1/3} > n^{1/3} = a_n.

Passo 3

Verificamos que \(a_n) não é limitada superiormente. Dados M>0, basta escolher
n > M^3,
pois aí
a_n = n^{1/3} > (M^3)^{1/3} = M.
Logo, para qualquer M existe n tal que a_n > M, ou seja, a sequência é não limitada acima.

Passo 4

Pelo Critério de Monotonia: uma sequência monotônica crescente que não é limitada superiormente diverge para +\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty,
ou seja, a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge (para +\infty), pelo critério de monotonia (crescente e não limitada).

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