Exercício 13. A seguinte ideia prova que
?: Assuma
racional. Então
pode ser representado como
onde a e
são coprimos e positivos. Então,
. Agora,
, portanto
, mas então
. Assim, temos
, logo
ou seja
e temos uma contradição.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
não é um número racional. O conteúdo da matéria envolve provas por contradição e propriedades de divisibilidade em inteiros.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros positivos
e
, coprimos entre si, tais que
Passo 3
Elevando ao quadrado dos dois lados, obtemos
Passo 4
Da igualdade
segue que
divide
. Como em inteiros se um primo divide o quadrado então divide o número, concluímos que
. Logo existe
tal que
Passo 5
Substituindo
em
dá
Assim
e, pelo mesmo argumento,
. Mas isso contradiz a hipótese de que
e
eram coprimos.
Resposta
Logo, a suposição de que
é racional leva a uma contradição. Concluímos que