Exercício 13. A seguinte ideia prova que \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} ?: Assuma \sqrt{3} racional. Então \sqrt{3} pode ser representado como \frac{a}{b} onde a e b são coprimos e positivos. Então, 3 b^{2}=a^{2}. Agora, 3 \mid 3 b^{2}, portanto 3 \mid a^{2}, mas então 3 \mid a. Assim, temos 3 b^{2}=(3 k)^{2}, logo 3 b^{2}=9 k^{2} ou seja b^{2}=3 k^{2} e temos uma contradição.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \sqrt{3} não é um número racional. O conteúdo da matéria envolve provas por contradição e propriedades de divisibilidade em inteiros.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que \sqrt{3} seja racional. Então existem inteiros positivos a e b, coprimos entre si, tais que
\sqrt{3} = \frac{a}{b}.

Passo 3

Elevando ao quadrado dos dois lados, obtemos
3 = \frac{a^2}{b^2} \quad\Longrightarrow\quad 3\,b^2 = a^2.

Passo 4

Da igualdade 3\,b^2 = a^2 segue que 3 divide a^2. Como em inteiros se um primo divide o quadrado então divide o número, concluímos que 3\mid a. Logo existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = 3k.

Passo 5

Substituindo a = 3k em 3\,b^2 = a^2
3\,b^2 = (3k)^2 = 9\,k^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 3\,k^2.
Assim 3\mid b^2 e, pelo mesmo argumento, 3\mid b. Mas isso contradiz a hipótese de que a e b eram coprimos.

Resposta

Logo, a suposição de que \sqrt{3} é racional leva a uma contradição. Concluímos que
\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}.

Exercícios relacionados