Exercício 12. O paraboloide z=6-x^{2}-2 y^{2} intercepta o plano x=1 numa parábola. Encontre as equações paramétricas para a reta tangente a esta parábola no ponto ( 1,2,-4 ).

Passo 1

A curva de interseção entre o paraboloide
z = 6 - x^2 - 2y^2
e o plano x=1 é dada por
x=1,\quad z = 6 - 1^2 - 2y^2 = 5 - 2y^2.
Para um ponto (1,y_0,z_0) nessa parábola deve valer z_0 = 5 - 2y_0^2.

Passo 2

Verificamos o ponto dado (1,2,-4): ao tomar y_0=2 teríamos
z_0 \stackrel{?}{=} 5 - 2\cdot 2^2 = 5 - 8 = -3,
mas o enunciado afirma z_0 = -4.

Resposta

Não é possível determinar a reta tangente porque o ponto (1,2,-4) não pertence à parábola de interseção (deveria satisfazer z=5-2y^2, o que daria z=-3, e não -4).

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