Exercício 8. Dizemos que as funções u(x, y) e v(x, y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann se
u_{x}(x, y)=v_{y}(x, y) \text { e } u_{y}(x, y)=-v_{x}(x, y)
Mostre que as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
u(x, y)=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) e v(x, y)=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}.

Passo 1

O enunciado dá
u(x,y)=\frac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) \quad\text{e}\quad v(x,y)=\arctan\!\Bigl(\frac yx\Bigr)
e pede para mostrar que elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de u e de v e, em seguida, verificar as igualdades acima.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas de u. Como
u(x,y)=\frac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr),
temos
u_x(x,y) =\frac12\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2x =\frac{x}{x^2+y^2},
u_y(x,y) =\frac12\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2y =\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 3

Agora calculemos as derivadas de v. Seja t=y/x. Então
v(x,y)=\arctan(t) \quad\text{com}\quad t=\frac yx.
Pela regra da cadeia e \tfrac{d}{dt}\arctan t = \tfrac1{1+t^2}, obtemos
v_x(x,y) =\frac1{1+(y/x)^2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac yx\Bigr) =\frac1{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\Bigl(-\frac y{x^2}\Bigr) =-\frac{y}{x^2+y^2},
v_y(x,y) =\frac1{1+(y/x)^2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac yx\Bigr) =\frac1{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\frac1x =\frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 4

Comparando os resultados:
u_x(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} \quad\text{e}\quad v_y(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2},
logo u_x=v_y.
Também
u_y(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2} \quad\text{e}\quad v_x(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2},
logo u_y=-\,v_x.
Assim, as duas equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas.

Resposta

As funções satisfazem
u_x=v_y \quad\text{e}\quad u_y=-v_x,
portanto elas obedecem às equações de Cauchy–Riemann.

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