Exercício 8. Dizemos que as funções
e
satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann se
Mostre que as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
e
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede para mostrar que elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
e de
e, em seguida, verificar as igualdades acima.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas de
. Como
temos
Passo 3
Agora calculemos as derivadas de
. Seja
. Então
Pela regra da cadeia e
, obtemos
Passo 4
Comparando os resultados:
logo
.
Também
Também
logo
.
Assim, as duas equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas.
Assim, as duas equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas.
Resposta
As funções satisfazem
portanto elas obedecem às equações de Cauchy–Riemann.