Exercício 0.12 Resolva as seguintes equações
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função
aparece dos dois lados da igualdade. - Não há outras restrições explícitas além da equação.
- É preciso lembrar que alguns valores de
tornam indefinida (quando ).
Passo 2
Entendendo o que é
e o domínio da equação (aulas rápidas):
- Por definição,
. Ou seja, cosecante é o recíproco do seno. - Portanto a equação dada é equivalente (quando os dois lados estão definidos) a
- Para poder multiplicar em ambos os lados e inverter sem problema, é necessário que
e sejam diferentes de zero. Vou checar no próximo passo; se for não nulo, podemos reduzir a equação para .
Passo 3
Calcular
:
- Usando simetria no círculo trigonométrico,
. Como , tem-se
- E
. Logo
Como o valor do lado direito é diferente de zero, podemos reduzir a equação original para
com a condição implícita de que
(mas a solução que vamos obter respeitará isso, pois dá seno igual a
).
Passo 4
Resolver
. Relembrando a fórmula geral para equações do tipo
:
- Se
, as soluções gerais são
porque o seno é periódico de período
e simétrico em torno de
.
- No nosso caso podemos tomar um ângulo principal
tal que . Um conveniente é (pois ). Aplicando a fórmula geral: - Primeira família:
- Segunda família:
- Primeira família:
- Observação: poderia também usar
direto; o resultado é o mesmo (as duas famílias aparecem trocadas).
Passo 5
Verificação rápida das condições:
- Para cada solução encontrada,
, então está bem definida e a transformação feita no passo 2 é válida. - Portanto não estamos incluindo pontos onde a cosecante seria indefinida.