Exercício 0.12 Resolva as seguintes equações
\operatorname{cossec} x=\operatorname{cossec} \frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec} \frac{2\pi}{3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função \operatorname{cossec} aparece dos dois lados da igualdade.
  • Não há outras restrições explícitas além da equação.
  • É preciso lembrar que alguns valores de x tornam \operatorname{cossec} x indefinida (quando \sin x=0).

Passo 2

Entendendo o que é \operatorname{cossec} e o domínio da equação (aulas rápidas):
  • Por definição, \operatorname{cossec} t = \dfrac{1}{\sin t}. Ou seja, cosecante é o recíproco do seno.
  • Portanto a equação dada é equivalente (quando os dois lados estão definidos) a
\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)}.
  • Para poder multiplicar em ambos os lados e inverter sem problema, é necessário que \sin x e \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) sejam diferentes de zero. Vou checar \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) no próximo passo; se for não nulo, podemos reduzir a equação para \sin x=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right).

Passo 3

Calcular \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right):
  • Usando simetria no círculo trigonométrico, \frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}. Como \sin(\pi-\theta)=\sin\theta, tem-se
\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
  • E \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\neq 0.
Como o valor do lado direito é diferente de zero, podemos reduzir a equação original para
\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2},
com a condição implícita de que \sin x\neq 0 (mas a solução que vamos obter respeitará isso, pois dá seno igual a \sqrt{3}/2).

Passo 4

Resolver \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Relembrando a fórmula geral para equações do tipo \sin x=\sin \alpha:
  • Se \sin x=\sin \alpha, as soluções gerais são
x = \alpha + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \pi - \alpha + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque o seno é periódico de período 2\pi e simétrico em torno de \pi/2.
  • No nosso caso podemos tomar um ângulo principal \alpha tal que \sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Um \alpha conveniente é \alpha=\dfrac{\pi}{3} (pois \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2). Aplicando a fórmula geral:
    • Primeira família: x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
    • Segunda família: x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
  • Observação: poderia também usar \alpha=\dfrac{2\pi}{3} direto; o resultado é o mesmo (as duas famílias aparecem trocadas).

Passo 5

Verificação rápida das condições:
  • Para cada solução encontrada, \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0, então \operatorname{cossec} x está bem definida e a transformação feita no passo 2 é válida.
  • Portanto não estamos incluindo pontos onde a cosecante seria indefinida.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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