Exercício 0.12 Resolva as seguintes equações
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informação dada: o valor do ângulo do lado direito é
. A tarefa é listar todas as soluções
(a solução geral, com parâmetro inteiro).
Passo 2
Conceito importante (que vamos usar): a função seno é periódica de período
, ou seja,
para todo
. Além disso, dois ângulos têm o mesmo seno quando são simétricos em relação a
no círculo trigonométrico: se
é um ângulo fixo, então os ângulos que têm seno igual a
são aqueles que têm a mesma referência angular, isto é,
e
, e suas repetições a cada
.
Passo 3
Uma maneira algébrica de obter as soluções é transformar a igualdade em produto usando a identidade de diferença de senos:
Colocando
e igualando a zero, obtemos
Como um produto é zero se e somente se um dos fatores é zero, temos duas possibilidades:
-
. -
.
Passo 4
Resolver cada possibilidade separadamente.
- Se
, então
logo
- Se
, então
ou seja
Essas duas famílias cobrem todas as soluções porque vêm das únicas formas que fazem o produto igual a zero.
Passo 5
Agora substituímos
nas fórmulas obtidas:
Primeira família:
Segunda família:
Como checar rapidamente: escolhemos
e obtemos as soluções
e
(ambas no intervalo
), e somando
a qualquer uma obtém-se outra solução, etc. Isso bate com a ideia geométrica no círculo trigonométrico.