Exercício 0.12 Resolva as seguintes equações
\operatorname{sen} x=\operatorname{sen} \frac{\pi}{5}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação
\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} \frac{\pi}{5}.
Informação dada: o valor do ângulo do lado direito é \dfrac{\pi}{5}. A tarefa é listar todas as soluções x (a solução geral, com parâmetro inteiro).

Passo 2

Conceito importante (que vamos usar): a função seno é periódica de período 2\pi, ou seja,
\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen} x
para todo x. Além disso, dois ângulos têm o mesmo seno quando são simétricos em relação a \dfrac{\pi}{2} no círculo trigonométrico: se \alpha é um ângulo fixo, então os ângulos que têm seno igual a \operatorname{sen}\alpha são aqueles que têm a mesma referência angular, isto é, \alpha e \pi-\alpha, e suas repetições a cada 2\pi.

Passo 3

Uma maneira algébrica de obter as soluções é transformar a igualdade em produto usando a identidade de diferença de senos:
\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}\alpha = 2\cos\!\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-\alpha}{2}\right).
Colocando \alpha=\dfrac{\pi}{5} e igualando a zero, obtemos
0 = \operatorname{sen}x-\operatorname{sen}\alpha = 2\cos\!\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-\alpha}{2}\right).
Como um produto é zero se e somente se um dos fatores é zero, temos duas possibilidades:
  1. \sin\!\left(\dfrac{x-\alpha}{2}\right)=0.
  2. \cos\!\left(\dfrac{x+\alpha}{2}\right)=0.

Passo 4

Resolver cada possibilidade separadamente.
  1. Se \sin\!\left(\dfrac{x-\alpha}{2}\right)=0, então
\frac{x-\alpha}{2} = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
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x = \alpha + 2k\pi.
  1. Se \cos\!\left(\dfrac{x+\alpha}{2}\right)=0, então
\frac{x+\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja
x+\alpha = \pi + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad x = \pi-\alpha + 2k\pi.
Essas duas famílias cobrem todas as soluções porque vêm das únicas formas que fazem o produto igual a zero.

Passo 5

Agora substituímos \alpha=\dfrac{\pi}{5} nas fórmulas obtidas:
Primeira família:
x = \frac{\pi}{5} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Segunda família:
x = \pi - \frac{\pi}{5} + 2k\pi = \frac{4\pi}{5} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como checar rapidamente: escolhemos k=0 e obtemos as soluções \dfrac{\pi}{5} e \dfrac{4\pi}{5} (ambas no intervalo [0,2\pi)), e somando 2\pi a qualquer uma obtém-se outra solução, etc. Isso bate com a ideia geométrica no círculo trigonométrico.

Resposta

x=\frac{\pi}{5}+2k\pi,\qquad x=\frac{4\pi}{5}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

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