Exercício 0.13 Determine os valores de
que satisfazem a equção
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
(assumir
) que satisfazem a equação
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
(um número real). - A equação envolve
apenas através de potências pares: e . - Lembrete útil: para todo
vale .
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática): quando uma equação trigonométrica aparece como um polinômio em
com apenas potências pares, é conveniente fazer a substituição
Isso transforma a equação trigonométrica em uma equação algébrica (quadrática) em
, que é mais fácil de resolver. Aqui
satisfaz
porque é um quadrado de função seno.
Passo 3
Aplicando a substituição
na equação temos a quadrática
Agora resolvemos essa quadrática. Primeiro calcule o discriminante:
Como
, as raízes são
Portanto
Passo 4
Interpretação das soluções para
no contexto original: lembrando que
e que
está entre
e
, a solução
é impossível (rejeita-se) porque
. Assim a única possibilidade é
Passo 5
Resolver
. Tirando raiz quadrada (lembrando os dois sinais),
Portanto precisamos resolver as duas equações trigonométricas
e
.
Passo 6
Resolver
. O valor principal cujo seno é
é
. Num ciclo
o seno é positivo em QI e QII, então as soluções gerais são
Resolver
. O seno negativo com mesma magnitude ocorre em QIII e QIV; as soluções são
Passo 7
Apresentar uma forma compacta e útil para todas as soluções obtidas. Observando os ângulos acima, todas podem ser escritas de forma unificada como
pois para
par obtém-se os ângulos em
correspondentes a
e
, e para
ímpar obtém-se
e
.