Exercício 0.13 Determine os valores de x que satisfazem a equção
4 \operatorname{sem}^{4} x-11 \operatorname{sen}^{2} x+6=0 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x (assumir x\in\mathbb{R}) que satisfazem a equação
4\operatorname{sen}^{4}x - 11\operatorname{sen}^{2}x + 6 = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x (um número real).
  • A equação envolve \operatorname{sen} x apenas através de potências pares: \operatorname{sen}^{2}x e \operatorname{sen}^{4}x.
  • Lembrete útil: para todo x vale 0 \le \operatorname{sen}^{2}x \le 1.

Passo 2

Estratégia inicial (explicação didática): quando uma equação trigonométrica aparece como um polinômio em \operatorname{sen} x com apenas potências pares, é conveniente fazer a substituição
y=\operatorname{sen}^{2}x.
Isso transforma a equação trigonométrica em uma equação algébrica (quadrática) em y, que é mais fácil de resolver. Aqui y satisfaz 0\le y\le1 porque é um quadrado de função seno.

Passo 3

Aplicando a substituição y=\operatorname{sen}^{2}x na equação temos a quadrática
4y^{2}-11y+6=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Primeiro calcule o discriminante:
\Delta = (-11)^{2}-4\cdot4\cdot6 = 121-96 = 25.
Como \Delta=25, as raízes são
y=\frac{11\pm\sqrt{25}}{2\cdot4}=\frac{11\pm5}{8}.
Portanto
y_1=\frac{11+5}{8}=\frac{16}{8}=2, \qquad y_2=\frac{11-5}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Interpretação das soluções para y no contexto original: lembrando que y=\operatorname{sen}^{2}x e que \operatorname{sen}^{2}x está entre 0 e 1, a solução y_1=2 é impossível (rejeita-se) porque 2>1. Assim a única possibilidade é
\operatorname{sen}^{2}x=\frac{3}{4}.

Passo 5

Resolver \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{3}{4}. Tirando raiz quadrada (lembrando os dois sinais),
\operatorname{sen} x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto precisamos resolver as duas equações trigonométricas \operatorname{sen} x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \operatorname{sen} x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Resolver \operatorname{sen} x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. O valor principal cujo seno é \dfrac{\sqrt{3}}{2} é x=\dfrac{\pi}{3}. Num ciclo 2\pi o seno é positivo em QI e QII, então as soluções gerais são
x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad\text{e}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Resolver \operatorname{sen} x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. O seno negativo com mesma magnitude ocorre em QIII e QIV; as soluções são
x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi \quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Apresentar uma forma compacta e útil para todas as soluções obtidas. Observando os ângulos acima, todas podem ser escritas de forma unificada como
x = n\pi \pm \frac{\pi}{3},\qquad n\in\mathbb{Z},
pois para n par obtém-se os ângulos em 0\le x<2\pi correspondentes a \frac{\pi}{3} e \frac{5\pi}{3}, e para n ímpar obtém-se \frac{2\pi}{3} e \frac{4\pi}{3}.

Resposta

x = n\pi \pm \dfrac{\pi}{3},\qquad n\in\mathbb{Z}
x = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\\ \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ \dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\\ \dfrac{5\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}

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