Exercício 12 Um saco contém 3 moedas, uma das quais foi cunhada com 2 caras, enquanto as duas outras são normais e não equilibradas. Uma moeda é selecionada ao acaso deste saco e lançada 4 vezes de forma independente. Se ocorre cara em todos os lançamentos, qual é a probabilidade da moeda escolhida ter sido a que tem 2 caras?
Passo 1
O enunciado descreve um saco com três moedas: uma moeda trucada com duas caras (que chamaremos de
) e duas moedas justas normais (que chamaremos de
e
). Cada moeda é escolhida com probabilidade igual a
. Lançamos a moeda selecionada quatro vezes independentes e observamos o evento
Queremos calcular a probabilidade condicionada
isto é, a chance de termos escolhido a moeda com duas caras dado que saíram quatro caras.
Passo 2
Vamos computar as probabilidades necessárias para aplicar o Teorema de Bayes.
- Probabilidades a priori:
- Probabilidades de obter quatro caras em cada moeda:
- Probabilidade total de
pelo Teorema da Probabilidade Total:
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter
Resposta
A probabilidade de a moeda escolhida ter sido a que tem duas caras, dado que saíram quatro caras, é
.