Exercício 12 Um saco contém 3 moedas, uma das quais foi cunhada com 2 caras, enquanto as duas outras são normais e não equilibradas. Uma moeda é selecionada ao acaso deste saco e lançada 4 vezes de forma independente. Se ocorre cara em todos os lançamentos, qual é a probabilidade da moeda escolhida ter sido a que tem 2 caras?

Passo 1

O enunciado descreve um saco com três moedas: uma moeda trucada com duas caras (que chamaremos de C1) e duas moedas justas normais (que chamaremos de C2 e C3). Cada moeda é escolhida com probabilidade igual a tfrac13. Lançamos a moeda selecionada quatro vezes independentes e observamos o evento
E = saem quatro caras
Queremos calcular a probabilidade condicionada
P(C1 mid E),
isto é, a chance de termos escolhido a moeda com duas caras dado que saíram quatro caras.

Passo 2

Vamos computar as probabilidades necessárias para aplicar o Teorema de Bayes.
  1. Probabilidades a priori:
P(C1)=P(C2)=P(C3)=13
  1. Probabilidades de obter quatro caras em cada moeda:
P(Emid C1)=1,
P(Emid C2)=P(Emid C3)=l(tfrac12r)^4=116
  1. Probabilidade total de E pelo Teorema da Probabilidade Total:
P(E) =sumi=1^3 P(Ci),P(Emid Ci) =13cdot1 + 2cdot13cdot116 =13 + 248 =13 + 124 =824 + 124 =924 =38

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter
P(C1mid E) =P(C1),P(Emid C1)P(E) =tfrac13cdot1tfrac38 =13times83 =89

Resposta

A probabilidade de a moeda escolhida ter sido a que tem duas caras, dado que saíram quatro caras, é 89.

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