Exercício 7 Mostre que se A é independente de B, então
(a) A é independente de B^c;
(b) A^c é independente de B^c.

Passo 1

Temos dois eventos A e B num espaço de probabilidade e sabemos que eles são independentes, isto é,
P(Acap B)=P(A),P(B)
O que vamos precisar para resolver é a definição de complemento ( P(B^c)=1-P(B)) e a fórmula da união de dois eventos.

Passo 2

Prova de que A é independente de B^c.
Usamos que
P(Acap B^c)=P(A)-P(Acap B)
Como P(Acap B)=P(A)P(B), temos
P(Acap B^c)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)l(1-P(B)r)=P(A),P(B^c)
Logo A é independente de B^c.

Passo 3

Prova de que A^c é independente de B^c.
Primeiro escrevemos
P(A^ccap B^c)=1-P(Acup B)
Pela fórmula da união,
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
Assim
P(A^ccap B^c)=1-l(P(A)+P(B)-P(A)P(B)r) =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =(1-P(A))(1-P(B)) = P(A^c),P(B^c)
Logo A^c é independente de B^c.

Resposta

(a) A é independente de B^c.
(b) A^c é independente de B^c.

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