Exercício 9 Mostre que se A, B, C são independentes, então
(a) A cap B e independente de C;
(b) A cap B^c é independente de C;
(c) A^c cap B^c é independente de C;

Passo 1

O enunciado diz que temos três eventos A, B e C que são independentes (isto é, quaisquer interseções pares satisfazem
P(Acap B)=P(A),P(B), P(Acap C)=P(A),P(C), P(Bcap C)=P(B),P(C),
além de
P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)
Precisamos mostrar que cada um dos eventos
(Acap B), (Acap B^c) e (A^ccap B^c) é independente de C.

Passo 2

Lembrando a definição, dizer que um evento E é independente de C equivale a
P(Ecap C)=P(E),P(C)
Vamos aplicar isso a cada um dos três casos.

Passo 3

(a) Para E=Acap B temos
Pl((Acap B)cap Cr)=P(Acap Bcap C)
Como A,B,C são independentes,
P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)
Também
P(Acap B)=P(A),P(B),
logo
Pl((Acap B)cap Cr) =P(A),P(B),P(C) =l[P(Acap B)r]P(C),
que é exatamente a independência de Acap B com C.

Passo 4

(b) Para E=Acap B^c escrevemos
Pl((Acap B^c)cap Cr) =P(Acap B^ccap C)
Observe que
P(Acap B^ccap C) =Pl((Acap C)setminus (Acap Bcap C)r) =P(Acap C)-P(Acap Bcap C)
Usando independência, P(Acap C)=P(A)P(C) e P(Acap Bcap C)=P(A)P(B)P(C). Assim
P(Acap B^ccap C) =P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C) =P(A)P(C)l[1-P(B)r]
Mas 1-P(B)=P(B^c) e P(Acap B^c)=P(A),P(B^c). Logo
Pl((Acap B^c)cap Cr) =P(A),P(B^c),P(C) =P(Acap B^c),P(C),
mostrando a independência.

Passo 5

(c) Para E=A^ccap B^c usamos
Pl((A^ccap B^c)cap Cr) =P(A^ccap B^ccap C)
Note que A^ccap B^c=(Acup B)^c, então
P(A^ccap B^ccap C) =Pl(Csetminus (Acup B)r) =P(C)-Pl((Acup B)cap Cr)
Pelo princípio da inclusão-exclusão e independência de pares,
Pl((Acup B)cap Cr) =P(Acap C)+P(Bcap C)-P(Acap Bcap C) =P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
Logo
P(A^ccap B^ccap C) =P(C)l[1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)r]
Mas
P(A^ccap B^c)=1-P(Acup B) =1-l[P(A)+P(B)-P(A)P(B)r] =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
Portanto
Pl((A^ccap B^c)cap Cr) =P(C),P(A^ccap B^c),
o que é a independência desejada.

Resposta

(a) (Acap B) é independente de C.
(b) (Acap B^c) é independente de C.
(c) (A^ccap B^c) é independente de C.

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