Exercício 9 Mostre que se
são independentes, então
(a)
e independente de
;
(b)
é independente de
;
(c)
é independente de
;
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado diz que temos três eventos
,
e
que são independentes (isto é, quaisquer interseções pares satisfazem
além de
Precisamos mostrar que cada um dos eventos
,
e
é independente de
.
Passo 2
Lembrando a definição, dizer que um evento
é independente de
equivale a
Vamos aplicar isso a cada um dos três casos.
Passo 3
(a) Para
temos
Como
são independentes,
Também
logo
que é exatamente a independência de
com
.
Passo 4
(b) Para
escrevemos
Observe que
Usando independência,
e
. Assim
Mas
e
. Logo
mostrando a independência.
Passo 5
(c) Para
usamos
Note que
, então
Pelo princípio da inclusão-exclusão e independência de pares,
Logo
Mas
Portanto
o que é a independência desejada.
Resposta
(a)
é independente de
.
(b) é independente de
.
(c) é independente de
.
(b)
(c)