Exercício 12. Seja y=g(x) uma função diferenciável de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Vamos obter as equações das retas tangente e normal ao gráfico de g através do vetor gradiente, para tanto siga os passos.
(a) Considere a função F(x, y)=y-g(x) e verifique que o gráfico de g coincide com a curva de nível c=0 de F.
(b) Tome \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \operatorname{Graf}(g), isto é, y_{0}=g\left(x_{0}\right) e verifique que \nabla F\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left(g^{\prime}\left(x_{0}\right),-1\right).
(c) Utilize a expressão anterior para obter as equações das retas tangente e normal ao gráfico de g.

Passo 1

O enunciado quer que a gente use a ideia de curvas de nível e vetor gradiente para encontrar as retas tangente e normal ao gráfico de uma função diferenciável g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}. A estratégia é:
  1. exibir o gráfico de g como nível zero de uma função F(x,y),
  2. mostrar que o gradiente de F em um ponto do gráfico é um vetor normal,
  3. usar esse vetor normal para escrever as equações da reta tangente (ortogonal ao normal) e da reta normal (paralela ao normal).

Passo 2

Definimos
F(x,y)=y-g(x).
O gráfico de g é o conjunto de pontos \{(x,y):y=g(x)\}. Mas y=g(x) é exatamente a equação F(x,y)=0. Portanto o gráfico de g coincide com a curva de nível de valor c=0 de F.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de F. Como
F_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y-g(x)\bigr)=-g'(x), \quad F_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y-g(x)\bigr)=1,
temos
\nabla F(x,y)=\bigl(F_x,F_y\bigr)=\bigl(-g'(x),1\bigr).
Em particular, em \bigl(x_0,y_0\bigr) com y_0=g(x_0), vale
\nabla F(x_0,y_0)=\bigl(-g'(x_0),1\bigr).
Como escolher o sinal do vetor normal é irrelevante, podemos usar também o vetor \bigl(g'(x_0),-1\bigr), que é apenas -1 vezes \nabla F(x_0,y_0).

Passo 4

  1. A reta tangente é a reta que passa por \bigl(x_0,y_0\bigr)\) e é ortogonal ao vetor normal \(\bigl(g'(x_0),-1\bigr)\). A condição de ortogonalidade de um vetor diretor \((u,v)\) à normal \((g'(x_0),-1)\) é \[g'(x_0)\,u-1\cdot v=0.
Uma escolha simples de vetor diretor é \bigl(1,g'(x_0)\bigr), pois
g'(x_0)\cdot 1-1\cdot g'(x_0)=0.
Logo a equação da reta tangente em forma ponto‐declive é
y-y_0 = g'(x_0)\,(x-x_0).
  1. A reta normal passa por \bigl(x_0,y_0\bigr) e é paralela ao vetor normal \bigl(g'(x_0),-1\bigr). Em forma paramétrica, tomando parâmetro t,
\begin{cases} x = x_0 + g'(x_0)\,t,\\\ y = y_0 - t. \end{cases}
Se preferir em forma explícita (assumindo (g’(x_0)\neq0]), basta escrever
y-y_0 = -\frac{1}{g'(x_0)}\,(x-x_0).

Resposta

reta tangente:
y - y_0 = g'(x_0)\,(x - x_0).
reta normal (forma explicita):
y - y_0 = -\frac{1}{g'(x_0)}\,(x - x_0).

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