Exercício 12. Seja
uma função diferenciável de
em
. Vamos obter as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
através do vetor gradiente, para tanto siga os passos.
(a) Considere a função
e verifique que o gráfico de
coincide com a curva de nível
de
.
(b) Tome
, isto é,
e verifique que
.
(c) Utilize a expressão anterior para obter as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
.
(a) Considere a função
(b) Tome
(c) Utilize a expressão anterior para obter as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Passo 1
O enunciado quer que a gente use a ideia de curvas de nível e vetor gradiente para encontrar as retas tangente e normal ao gráfico de uma função diferenciável
. A estratégia é:
- exibir o gráfico de
como nível zero de uma função , - mostrar que o gradiente de
em um ponto do gráfico é um vetor normal, - usar esse vetor normal para escrever as equações da reta tangente (ortogonal ao normal) e da reta normal (paralela ao normal).
Passo 2
Definimos
O gráfico de
é o conjunto de pontos
. Mas
é exatamente a equação
. Portanto o gráfico de
coincide com a curva de nível de valor
de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. Como
temos
Em particular, em
com
, vale
Como escolher o sinal do vetor normal é irrelevante, podemos usar também o vetor
, que é apenas
vezes
.
Passo 4
- A reta tangente é a reta que passa por
Uma escolha simples de vetor diretor é
, pois
Logo a equação da reta tangente em forma ponto‐declive é
- A reta normal passa por
e é paralela ao vetor normal . Em forma paramétrica, tomando parâmetro ,
Se preferir em forma explícita (assumindo (g’(x_0)\neq0]), basta escrever
Resposta
reta tangente:
reta normal (forma explicita):