Encontre os pontos críticos e determine a natureza dos extremantes locais.
f(x, y)=x^{2}-2 x y+2 y^{2}-3 x+5 y;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{2}-2xy+2y^{2}-3x+5y
e determinar se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos precisar de:
  1. Cálculo das derivadas parciais para obter \nabla f=0.
  2. Resolução do sistema linear que surge das equações \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0.
  3. Cálculo da matriz Hessiana e aplicação do teste de definitude (menores principais) para classificar o ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2y-3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+4y+5.
Impondo \nabla f=0\) temos o sistema \[\begin{cases} 2x-2y-3=0,\\\\ -2x+4y+5=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x-y=\tfrac32\], ou \(x=y+\tfrac32. Substituindo na segunda:
-2\bigl(y+\tfrac32\bigr)+4y+5=0 \;\Longrightarrow\; -2y-3+4y+5=0 \;\Longrightarrow\; 2y+2=0 \;\Longrightarrow\; y=-1.
Assim x=-1+\tfrac32=\tfrac12. O único ponto crítico é \bigl(\tfrac12,-1\bigr).

Passo 3

A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2\\\\ -2 & 4 \end{pmatrix}.
Calculamos os menores principais: \Delta_1=2>0 e \Delta_2=\det H=2\cdot4-(-2)^2=8-4=4>0.
Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva e o ponto é um mínimo local.]

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(\tfrac12,-1\bigr), que é um mínimo local.

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