Determine o máximo e mínimo da função no domínio dado:
f(x, y)=x y, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \leq 0, y \geq 0\right. e \left.2 x+y \leq 5\right\};

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x,y)=x\,y no domínio
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\le0,\;y\ge0,\;2x+y\le5\bigr\}.
O conteúdo é otimização em um conjunto convexo definido por inequações lineares. Vamos usar o sinal de x e y para descobrir limites de f e depois verificar se há pontos de máximo/mínimo ou comportamento em infinito.

Passo 2

Como em D temos x\le0 e y\ge0, o produto
f(x,y)=x\,y
é sempre menor ou igual a zero (negativo ou zero). Logo,
f(x,y)\le0\quad\forall\,(x,y)\in D.
Isso já mostra que o supremo de f não pode passar de zero.

Passo 3

Para ver se f=0 é atingido, basta notar que se x=0 então 2\cdot0+y\le5 implica 0\le y\le5, e
f(0,y)=0\cdot y=0.
Analogamente, se y=0 então x\le0 e 2x+0\le5 vale para todo x\le0, de modo que
f(x,0)=x\cdot0=0.
Portanto, f_{\max}=0 e é atingido em toda a aresta x=0,\;0\le y\le5 e em toda a aresta y=0,\;x\le0.

Passo 4

Para o mínimo, observe que D é ilimitado quando x\to-\infty e y grande o suficiente, respeitando y\le5-2x. Por exemplo, para t\ge0 tome
x=-t,\quad y=5+2t,
que satisfaz
2x+y=-2t+(5+2t)=5\le5.
Então
f(-t,\,5+2t)=-t\,(5+2t)=-5\,t-2\,t^2
e, ao levar t\to+\infty, esse valor tende a -\infty. Assim, não há valor mínimo (o ínfimo é -\infty).

Resposta

O valor máximo de f em D é
f_{\max}=0,
atingido em todos os pontos onde x=0 com 0\le y\le5 ou onde y=0 com x\le0.
Não existe valor mínimo finito, pois \inf_{D}f=-\infty.

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