Determine o máximo e mínimo da função no domínio dado:
e
;
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
no domínio
O conteúdo é otimização em um conjunto convexo definido por inequações lineares. Vamos usar o sinal de
e
para descobrir limites de
e depois verificar se há pontos de máximo/mínimo ou comportamento em infinito.
Passo 2
Como em
temos
e
, o produto
é sempre menor ou igual a zero (negativo ou zero). Logo,
Isso já mostra que o supremo de
não pode passar de zero.
Passo 3
Para ver se
é atingido, basta notar que se
então
implica
, e
Analogamente, se
então
e
vale para todo
, de modo que
Portanto,
e é atingido em toda a aresta
e em toda a aresta
.
Passo 4
Para o mínimo, observe que
é ilimitado quando
e
grande o suficiente, respeitando
. Por exemplo, para
tome
que satisfaz
Então
e, ao levar
, esse valor tende a
. Assim, não há valor mínimo (o ínfimo é
).
Resposta
O valor máximo de
em
é
atingido em todos os pontos onde
com
ou onde
com
.
Não existe valor mínimo finito, pois
.