Os elementos imediatamente acima e abaixo da diagonal valem -2.
Todos os demais elementos são 0.
O que se pede: calcular \det(A), o determinante dessa matriz.
Passo 2
Estratégia escolhida e introdução ao método (explicação didática passo a passo).
Vou denotar D_n o determinante da matriz n\times n que tem diagonal 3 e sub-/super-diagonal -2. Assim o que queremos é D_5.
Observação útil (fórmula geral para tridiagonais constantes): para uma matriz tridiagonal com diagonal a e sub/super-diagonal igual a t, os determinantes D_n satisfazem a recorrência
D_n = a\,D_{n-1} - t^2\,D_{n-2}.
Vou derivar essa recorrência de forma simples e cuidadosa para que você aprenda a aplicá-la na prova.
Derivação (laplace/expansão em cofatores, explicado passo a passo):
Considere a matriz A_n de ordem n com a=3 na diagonal e t=-2 nas sub/super-diagonais. Seja D_n=\det(A_n).
Expanda D_n pela última linha. Nessa última linha só há dois elementos não nulos: na coluna n-1 o valor t e na coluna n o valor a. Então (usando a regra de sinais do desenvolvimento por cofatores)
D_n = a\,D_{n-1} \;-\; t\,M,
onde M é o menor obtido ao eliminar a linha n e a coluna n-1.
Agora examine M. Esse menor é uma matriz (n-1)\times(n-1) que, ao olhar sua última coluna (correspondente à coluna n da matriz original), tem apenas um elemento não nulo: na posição (n-1,n-1) (dentro do menor) esse elemento vale t. Ao expandir M por essa última coluna, o sinal do cofator é positivo porque o índice na matriz M é (n-1,n-1) (ou seja, (-1)^{(n-1)+(n-1)}=+1). Portanto
No nosso caso a=3 e t=-2, logo t^2=4 e a recorrência fica
D_n = 3\,D_{n-1} - 4\,D_{n-2}.
Passo 3
Casos base — calcular D_1 e D_2 (necessários para iniciar a recorrência).
Para n=1 a matriz é (3), então
D_1 = 3.
Para n=2 a matriz é \begin{pmatrix}3 & -2\\\\ -2 & 3\end{pmatrix}. O determinante de uma 2\times2\begin{pmatrix}x&y\\\ z&w\end{pmatrix} é xw-yz. Aplicando: