com h parâmetro real.
a) Determinar \operatorname{Im} A e \operatorname{ker} A, ao variar de h, identificando as bases correspondentes e as dimensões.
b) Provar que \mathbf{v}=(0,1,0) è sempre autovetor e encontrar qual è o autovalor relativo.
c) Estudar a diagonalizabilidade de A ao variar de h.
d) Para h=1 determinar uma matriz P tal que P^{-1} M P seja diagonal.
Passo 1
O enunciado define o operador A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
com parâmetro real h. Precisamos: 1. Determinar \operatorname{Im}A e \ker A conforme h, com bases e dimensões. 2. Mostrar que \mathbf{v}=(0,1,0) é sempre autovetor e achar seu autovalor. 3. Estudar a diagonalizabilidade de A variando h. 4. Para h=1, achar P que diagonaliza M.
Passo 2
Para achar \ker A\) resolvemos \(M(x,y,z)^{T}=0\), ou seja
\[\begin{cases} 5x + h\,z = 0,\\\\ 6y = 0,\\\ x + 5z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\]. Da terceira \(x=-5z. Substituindo na primeira:
5(-5z)+h\,z = (-25+h)z = 0.
Se h\neq25, então z=0 e daí x=0, logo \ker A=\{0\} (dimensão 0).
Se h=25, qualquer z satisfaz e x=-5z, logo
\ker A = \span\{(-5,0,1)\},
com dimensão 1.
Passo 3
Pelo teorema do posto e nulidade em \mathbb{R}^3, vale
\dim\ker A + \dim\Im A = 3.
Se h\neq25, \dim\ker A=0 e portanto \dim\Im A=3, ou seja \Im A=\mathbb{R}^3.
Se h=25, \dim\ker A=1 e então \dim\Im A=2. As colunas de M são \mathbf{c}_1=(5,0,1), \mathbf{c}_2=(0,6,0), \mathbf{c}_3=(25,0,5)=5\,\mathbf{c}_1.
Logo
Se h<0, os valores 5\pm\sqrt{h} são não reais e não há base real de autovetores, logo não se diagonaliza em \mathbb{R}^3.
Se h=0, os autovalores são 6 e 5 (com multiplicidade algébrica 2), mas o espaço próprio de \lambda=5 é de dimensão 1, logo não é diagonalizável.
Se h>0 e h\neq1, os três autovalores 6, 5+\sqrt{h} e 5-\sqrt{h} são distintos, garantindo diagonalização.
Se h=1, os autovalores são 6 (mult. alg. 2) e 4 (mult. alg. 1), e o espaço próprio de \lambda=6 tem dimensão 2, totalizando 3 autovetores independentes; portanto também é diagonalizável.
a) Para h\neq25: \ker A=\{0\} (dim 0), \Im A=\mathbb{R}^3 (dim 3).
Para h=25: \ker A=\span\{(-5,0,1)\} (dim 1), \Im A=\span\{(5,0,1),(0,6,0)\} (dim 2).
b) \mathbf{v}=(0,1,0) é autovetor de autovalor 6.
c) Em \mathbb{R}, A é diagonalizável se e somente se h>0.
d) Para h=1, um P que diagonaliza é