Exercício 6.8.13. Seja A o operador que, na base canônica de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
\left(\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
a) Determinar \operatorname{Im} A e \operatorname{ker} A, identificando as bases correspondentes e as dimensões.
b) Calcular os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a imagem e o núcleo do operador A\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida, calcular os autovalores e autovetores. Vamos usar definição de imagem como span das colunas, resolver Av=0 para o núcleo e achar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.

Passo 2

As colunas de A são
c_1=(2,0,0),\quad c_2=(3,2,0),\quad c_3=(1,0,0).
Logo
\mathrm{Im}\,A=\mathrm{span}\{c_1,c_2,c_3\}=\mathrm{span}\{(2,0,0),(3,2,0)\}.
Como (1,0,0)=\tfrac12(2,0,0) e (0,1,0)=\tfrac1{2}(3,2,0)-\tfrac3{2}(2,0,0), podemos reescrever
\mathrm{Im}\,A=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb R\}=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},
então \dim(\mathrm{Im}\,A)=2.

Passo 3

Para achar \ker A\), resolvemos \(Av=0\) com \(v=(x,y,z)\): \[\begin{cases} 2x+3y+z=0,\\\\ 2y=0,\\\\ 0=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\]. Substituindo na primeira, \(2x+z=0 implica z=-2x. Assim
v=(x,0,-2x)=x\,(1,0,-2),
logo
\ker A=\mathrm{span}\{(1,0,-2)\},
com \dim(\ker A)=1.

Passo 4

O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2(-\lambda).
Portanto os autovalores são
\lambda=2 (multiplicidade algébrica 2) e
\lambda=0 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 5

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0. A matriz A-2I é
\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},
que gera o sistema
3y+z=0,\quad -2z=0.
Dessa segunda equação vem z=0, e então y=0. O parâmetro livre é x. Logo
v=(x,0,0)=x\,(1,0,0),
então o espaço próprio de \lambda=2 é \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.

Passo 6

Para \lambda=0 a equação é Av=0, que já resolvemos quando achamos o núcleo. Assim o espaço próprio de \lambda=0 é
\mathrm{span}\{(1,0,-2)\}.

Resposta

(a)
\mathrm{Im}\,A=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb R\}=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim(\mathrm{Im}\,A)=2;
\ker A=\mathrm{span}\{(1,0,-2)\}, \dim(\ker A)=1.
(b) Os autovalores são \lambda=2 (mult. alg. 2, mult. geom. 1) com autovetor (1,0,0) e \lambda=0 (mult. alg. 1) com autovetor (1,0,-2).

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