Exercício 6.8.9. Em \mathbb{R}^{4} com base canônica \mathcal{B}_{4}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{4}\right\} :
a) escrever a forma geral da matriz de um operador A: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \operatorname{ker} A=\left[\mathbf{e}_{\mathbf{2}}, \mathbf{e}_{\mathbf{4}}\right], \operatorname{Im} A=\left[\mathbf{e}_{\mathbf{1}}, \mathbf{e}_{\mathbf{3}}\right];
b) entre os operadores do tipo considerado em (a), encontrar aqueles com autovetores \mathbf{u}=\mathbf{e}_{\mathbf{1}}+\mathbf{e}_{\mathbf{3}} e \mathbf{v}=2 \mathbf{e}_{\mathbf{1}}-\mathbf{e}_{\mathbf{3}} correspondentes respectivamente aos autovalores \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=2.
Exercício 6.8.10. Estabelecer para quais valores do parâmetro real k o operador que, na base canônica de \mathbb{R}^{2}, possui a matriz representativa \left(\begin{array}{cc}k-5 & 2 \\\\ -3 & k\end{array}\right) é um isomorfismo. Pondo k=2, encontrar o núcleo, a imagem, os autovalores e os auto-espaços do operador correspondente.
Passo 1
O exercício 6.8.9 trata de operadores lineares em \mathbb{R}^4 cujos núcleo e imagem são espaços dados pelas dimensões e vetores-canônicos indicados, e depois impõe condições de autovalores e autovetores para determinar coeficientes.
O exercício 6.8.10 trata de um operador em \mathbb{R}^2 com matriz paramétrica, pedindo para achar para quais k ele é isomorfismo e, no caso k=2, caracterizar núcleo, imagem, autovalores e autespaços.
Passo 2
Para 6.8.9(a) usamos que \ker A=[\mathbf e_2,\mathbf e_4] implica