Exercício 6.8.9. Em \mathbb{R}^{4} com base canônica \mathcal{B}_{4}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{4}\right\} :
a) escrever a forma geral da matriz de um operador A: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \operatorname{ker} A=\left[\mathbf{e}_{\mathbf{2}}, \mathbf{e}_{\mathbf{4}}\right], \operatorname{Im} A=\left[\mathbf{e}_{\mathbf{1}}, \mathbf{e}_{\mathbf{3}}\right];
b) entre os operadores do tipo considerado em (a), encontrar aqueles com autovetores \mathbf{u}=\mathbf{e}_{\mathbf{1}}+\mathbf{e}_{\mathbf{3}} e \mathbf{v}=2 \mathbf{e}_{\mathbf{1}}-\mathbf{e}_{\mathbf{3}} correspondentes respectivamente aos autovalores \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=2.
Exercício 6.8.10. Estabelecer para quais valores do parâmetro real k o operador que, na base canônica de \mathbb{R}^{2}, possui a matriz representativa \left(\begin{array}{cc}k-5 & 2 \\\\ -3 & k\end{array}\right) é um isomorfismo. Pondo k=2, encontrar o núcleo, a imagem, os autovalores e os auto-espaços do operador correspondente.

Passo 1

O exercício 6.8.9 trata de operadores lineares em \mathbb{R}^4 cujos núcleo e imagem são espaços dados pelas dimensões e vetores-canônicos indicados, e depois impõe condições de autovalores e autovetores para determinar coeficientes.
O exercício 6.8.10 trata de um operador em \mathbb{R}^2 com matriz paramétrica, pedindo para achar para quais k ele é isomorfismo e, no caso k=2, caracterizar núcleo, imagem, autovalores e autespaços.

Passo 2

Para 6.8.9(a) usamos que
\ker A=[\mathbf e_2,\mathbf e_4] implica
A\mathbf e_2=0,\quad A\mathbf e_4=0,
e \Im A=[\mathbf e_1,\mathbf e_3] implica
A\mathbf e_1\in\Span\{\mathbf e_1,\mathbf e_3\},\quad A\mathbf e_3\in\Span\{\mathbf e_1,\mathbf e_3\}
com independência linear para ter dimensão 2. Logo escrevemos
A\mathbf e_1 = a\,\mathbf e_1 + c\,\mathbf e_3,\quad A\mathbf e_3 = b\,\mathbf e_1 + d\,\mathbf e_3,
e em relação à base canônica as colunas são essas imagens, de modo que
A = \begin{pmatrix} a & 0 & b & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\ c & 0 & d & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad ad - bc \neq 0.

Passo 3

Para 6.8.9(b) impomos
\mathbf u=\mathbf e_1+\mathbf e_3 com autovalor -1:
A\mathbf u = A\mathbf e_1 + A\mathbf e_3 = -(\mathbf e_1+\mathbf e_3)
gera as equações
a + b = -1,\quad c + d = -1.
E para \mathbf v = 2\mathbf e_1 - \mathbf e_3 com autovalor 2:
2A\mathbf e_1 - A\mathbf e_3 = 2(2\mathbf e_1 - \mathbf e_3)
gera
2a - b = 4,\quad 2c - d = -2.
Resolvendo obtemos a=1, b=-2, c=-1, d=0. Assim
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para 6.8.10 a matriz
\displaystyle M(k)=\begin{pmatrix}k-5 & 2\\\ -3 & k\end{pmatrix}
é isomorfismo se \det M(k)\neq0. Calculamos
\det M(k) = (k-5)k - (2)(-3) = k^2 -5k +6 = (k-2)(k-3).
Logo M(k) é inversível exatamente quando
k\neq2,\quad k\neq3.

Passo 5

Para k=2 a matriz vira
M(2) = \begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -3 & 2\end{pmatrix}.
O núcleo vem de -3x_1+2x_2=0, isto é x_2=\tfrac32x_1, então
\ker A = \Span\{(2,3)\}.
A imagem é o espaço gerado pela linha (-3,2), então
\Im A = \Span\{(-3,2)\}.

Passo 6

Ainda para k=2 os autovalores são raízes de
\det(M(2)-\lambda I)=0:
\det\!\begin{pmatrix}-3-\lambda & 2\\\ -3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = \lambda(\lambda+1)=0,
logo \lambda_1=0 e \lambda_2=-1.
O autespaço de \lambda=0 é \ker A=\Span\{(2,3)\}.
Para \lambda=-1 resolvemos (M(2)+I)x=0, que dá x_1=x_2, logo
E_{-1} = \Span\{(1,1)\}.

Resposta

6.8.9 (a)
A = \begin{pmatrix} a & 0 & b & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\ c & 0 & d & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad ad - bc \neq 0.
6.8.9 (b)
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
6.8.10
O operador é isomorfismo se k\neq2,3.
Para k=2:
\ker A = \Span\{(2,3)\},\quad \Im A = \Span\{(-3,2)\};
autovalores \lambda=0,-1 com
E_{0} = \Span\{(2,3)\},\quad E_{-1} = \Span\{(1,1)\}.

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